Fallende und steigende Faktorielle

Die fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) bezeichnet i​n der Mathematik e​ine Funktion ähnlich d​er Exponentiation, b​ei der jedoch d​ie Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d. h., u​m Eins reduziert bzw. erhöht werden.

Definition

Für natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ mit ${\displaystyle n\geq k\geq 0}$ wird die ${\displaystyle k}$-te fallende bzw. steigende Faktorielle als ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$ bzw. ${\displaystyle n^{\overline {k}}}$ (in manchen älteren Lehrbüchern auch ${\displaystyle (n)_{k}}$ bzw. ${\displaystyle n^{(k)}}$) notiert und ist wie folgt definiert:

${\displaystyle n^{\underline {k}}:=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

${\displaystyle n^{\overline {k}}:=n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}}$

Kombinatorische Interpretation

Im Urnenmodell lässt sich die fallende Faktorielle als die Anzahl der Möglichkeiten interpretieren, aus einer Urne mit ${\displaystyle n}$ verschiedenen Kugeln ${\displaystyle k}$ Kugeln zu entnehmen, ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge. Für die erste Kugel gibt es ${\displaystyle n}$ Kandidaten, für die zweite ${\displaystyle n-1}$ … und schließlich für die letzte Kugel noch ${\displaystyle n-k+1}$. Für die Gesamtauswahl gibt es daher ${\displaystyle n(n-1)\cdots (n-k+1)=n^{\underline {k}}}$ Möglichkeiten.

Allgemein ist ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$ die Anzahl der ${\displaystyle k}$-Permutationen einer ${\displaystyle n}$-Menge oder alternativ die Anzahl injektiver Abbildungen einer ${\displaystyle k}$-Menge in eine ${\displaystyle n}$-Menge.

Verallgemeinerung

Die Definition erfolgt analog für eine komplexe Zahl ${\displaystyle x}$ und eine natürliche Zahl ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle x^{\underline {k}}:=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

${\displaystyle x^{\overline {k}}:=x(x+1)(x+2)\cdots (x+k-1)}$

Man kann ${\displaystyle x^{\underline {k}}}$ und ${\displaystyle x^{\overline {k}}}$ dann als komplexe Polynome in ${\displaystyle x}$ auffassen.

Für ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ stimmt die steigende Faktorielle ${\displaystyle x^{\overline {k}}}$ mit dem Pochhammer-Symbol ${\displaystyle (x,k)}$ überein.

Eigenschaften

Rechenregeln

Es gelten folgende Rechenregeln:

${\displaystyle x^{\underline {1}}=x^{\overline {1}}=x}$

${\displaystyle x^{\underline {0}}=x^{\overline {0}}=1}$

${\displaystyle (-x)^{\overline {k}}=(-1)^{k}x^{\underline {k}}}$

${\displaystyle x^{\underline {k}}=(-x)^{\overline {k}}=0}$  für ${\displaystyle 0\leq x<k}$

Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen

Mithilfe d​er fallenden Faktoriellen lassen s​ich die Binomialkoeffizienten allgemein definieren:

${\displaystyle {\binom {x}{k}}:={\frac {1}{k!}}x^{\underline {k}}}$

Es gelten außerdem folgende Gleichungen, wobei ${\displaystyle \displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$ und ${\displaystyle \displaystyle \left\{\!{n \atop k}\!\right\}}$ die (vorzeichenlosen) Stirling-Zahlen erster und zweiter Art bezeichnen:

${\displaystyle \displaystyle x^{k}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\left\{\!{k \atop j}\!\right\}\cdot x^{\underline {j}}}$

${\displaystyle \displaystyle x^{k}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-j}\left\{{k \atop j}\right\}\cdot x^{\overline {j}}}$

${\displaystyle \displaystyle x^{\overline {k}}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\left[{k \atop j}\right]\cdot x^{j}}$

${\displaystyle \displaystyle x^{\underline {k}}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-j}\left[{k \atop j}\right]\cdot x^{j}}$

Vorkommen in der Analysis

${\displaystyle {{\operatorname {d} ^{j}} \over \operatorname {d} \!x^{j}}x^{k}=k^{\underline {j}}x^{k-j}}$

Literatur

• Martin Aigner: Diskrete Mathematik. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0084-8.
• Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger: Elemente der diskreten Mathematik. Zahlen und Zählen, Graphen und Verbände. De Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-027767-8.
• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Concrete mathematics. A foundation for computer science. Second edition. Addison-Wesley, 1994, ISBN 978-0-201-55802-9.