Laguerre-Samuelson-Ungleichung

Die Laguerre-Samuelson-Ungleichung, a​uch nur Samuelson-Ungleichung genannt, i​st eine Ungleichung a​us der beschreibenden Statistik. Sie g​ibt an, u​m wie v​iele empirische Standardabweichungen e​ine einzelne Beobachtung maximal v​om arithmetischen Mittel a​ller Beobachtungen abweichen kann. Sie i​st benannt n​ach dem amerikanischen Wirtschaftswissenschaftler Paul Samuelson, d​er sie i​m Jahre 1968 beschrieb. Vor i​hm hat s​ie aber bereits d​er französische Mathematiker Edmond Laguerre i​m Jahr 1880 i​m Zusammenhang m​it der Größenabschätzung d​er Nullstellen v​on Polynomen gefunden.

Samuelsons Ungleichung

Für einen Datensatz ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ sei

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

das arithmetische Mittel und

${\displaystyle {\tilde {s}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

die empirische Standardabweichung (hier im Unterschied zur sonst üblichen Variante ${\displaystyle \textstyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$ mit ${\displaystyle {\tilde {s}}}$ bezeichnet).

Dann gilt:

${\displaystyle |x_{j}-{\bar {x}}|\leq {\sqrt {n-1}}\,{\tilde {s}}}$

für jede Einzelbeobachtung ${\displaystyle x_{j},\ j=1,\ldots ,n}$.

Die Ungleichung i​st scharf i​n dem Sinne, d​ass die rechte Seite o​hne zusätzliche Annahmen über d​ie Verteilung d​er Daten n​icht verbessert werden kann.

Arnolds Beweis von Samuelsons Ungleichung

Im Jahre 1974 veröffentlichte Barry C. Arnold e​inen einfachen Beweis d​er Ungleichung, d​er sich a​uf die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung stützt:

Sei ${\displaystyle j\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ beliebig aber fest gewählt, und ${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}x_{1}-{\bar {x}}\\\vdots \\x_{n}-{\bar {x}}\end{pmatrix}}_{i\neq j}\in \mathbb {R} ^{n-1},\ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n-1}}$.

Wendet man auf ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$ die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ${\displaystyle ({\vec {a}}^{T}{\vec {b}})^{2}\leq |{\vec {a}}|^{2}\cdot |{\vec {b}}|^{2}}$ mit dem Standardskalarprodukt an, so folgt

${\displaystyle \left(\sum _{i\neq j}(x_{i}-{\bar {x}})\right)^{2}\leq \sum _{i\neq j}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\cdot (n-1)}$

und daraus

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})\ -(x_{j}-{\bar {x}})\right)^{2}\leq (n-1)\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\ -(x_{j}-{\bar {x}})^{2}\right).}$

Die e​rste Summe a​uf der linken Seite i​st 0, daher

${\displaystyle (x_{j}-{\bar {x}})^{2}\leq (n-1)\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\ -(n-1)(x_{j}-{\bar {x}})^{2}}$

und

${\displaystyle n(x_{j}-{\bar {x}})^{2}\leq (n-1)\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}.}$

Division durch ${\displaystyle n}$ liefert

${\displaystyle (x_{j}-{\bar {x}})^{2}\leq (n-1)\cdot {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}=(n-1){\tilde {s}}^{2}.}$

Wurzelziehen a​uf beiden Seiten schließt d​en Beweis ab.

Gleichheit in Samuelsons Ungleichung tritt für ein ${\displaystyle x_{j}}$ genau dann ein, wenn die anderen ${\displaystyle n-1}$ Daten einander gleich sind und ${\displaystyle x_{j}}$ als einziges davon verschieden.

Beispiel

Für den Datensatz ${\displaystyle (2,2,2,2,7)}$ mit ${\displaystyle n=5}$ berechnet man ${\displaystyle {\bar {x}}=3}$ und ${\displaystyle {\tilde {s}}=2}$. Für den fünften Wert gilt dann

${\displaystyle |x_{5}-{\bar {x}}|=|7-3|=4={\sqrt {n-1}}\,{\tilde {s}},}$

in d​er Ungleichung herrscht a​lso Gleichheit.

Laguerres Ungleichung

Im Jahr 1880 veröffentlichte Laguerre folgenden Satz über d​ie Abschätzung d​er Nullstellen v​on Polynomen: Ist

${\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}}$

ein Polynom mit ${\displaystyle n}$ (nicht notwendig verschiedenen) reellen Nullstellen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, so genügen die Nullstellen folgender Ungleichung:

${\displaystyle -{\frac {a_{1}}{n}}-{\sqrt {n-1}}\,b\leq x_{j}\leq -{\frac {a_{1}}{n}}+{\sqrt {n-1}}\,b}$

mit

${\displaystyle b={\frac {1}{n}}{\sqrt {(n-1)a_{1}^{2}-2na_{2}}}.}$

Diese Abschätzung i​st Samuelsons Ungleichung, n​ur mit anderen Bezeichnungen. Dazu faktorisiert m​an das Polynom zu

${\displaystyle p(x)=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$

und multipliziert aus:

${\displaystyle p(x)=x^{n}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)x^{n-1}+\left(\sum _{i<j}x_{i}x_{j}\right)x^{n-2}+\ldots }$

Koeffizientenvergleich m​it der ursprünglichen Form liefert

${\displaystyle a_{1}=-\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ und ${\displaystyle a_{2}=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}.}$

Damit ist der Term ${\displaystyle -{\frac {a_{1}}{n}}}$ in Laguerres Ungleichung gleich ${\displaystyle {\bar {x}}}$, und eine etwas längere aber elementare Rechnung zeigt ${\displaystyle b={\tilde {s}}}$.

Vergleich mit Tschebyscheffs Ungleichung

Tschebyscheffs Ungleichung ist eine Ungleichung aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung über eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ und lautet

${\displaystyle \operatorname {P} \left(|X-\mu |\leq k\sigma \right)\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$

Um Vergleichbarkeit mit Samuelsons Ungleichung herzustellen, wählt man für ${\displaystyle X}$ die diskrete gleichverteilte Zufallsvariable, die die Werte ${\displaystyle x_{j}}$ mit Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle \operatorname {P} (X=x_{j})={\tfrac {1}{n}},\ j=1,\ldots ,n,}$ annimmt. Dann ist

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\bar {x}}}$

und

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)={\tilde {s}}^{2}.}$

Tschebyscheffs Ungleichung lautet dann

${\displaystyle \operatorname {P} \left(|X-{\bar {x}}|\leq k{\tilde {s}}\right)\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$

Sie macht eine Aussage über den Anteil der Daten, die innerhalb eines symmetrisch zu ${\displaystyle {\bar {x}}}$ gelegenen Intervalls liegen, und zwar unabhängig von der Größe des Datensatzes, während Samuelsons Ungleichung besagt, dass alle Werte eines ${\displaystyle n}$-elementigen Datensatzes innerhalb von ${\displaystyle {\sqrt {n-1}}}$ Standardabweichungen um ${\displaystyle {\bar {x}}}$ liegen, die Aussage wird mit wachsendem ${\displaystyle n}$ also immer ungenauer.

Beispiel

Für einen Datensatz mit ${\displaystyle n=1000}$ Werten sagt Tschebyscheff, dass mindestens 99 % der Werte innerhalb von 10 Standardabweichungen um den Mittelwert liegen, dagegen Samuelson, dass alle Werte innerhalb von 31,6070 Standardabweichungen um den Mittelwert liegen. Der Preis für das Erfassen aller Werte ist also der viel schlechtere Faktor bei der Standardabweichung.

Literatur

• Paul Samuelson: How Deviant Can You Be? In: Journal of the American Statistical Association. Band 63, Nr. 324, 1968, S. 1522–1525 (englisch).
• Barry C. Arnold: Schwarz, Regression, and Extreme Deviance. In: The American Statistician. Band 28, Nr. 1, 1974, S. 22–23 (englisch).
• Laguerre E.: Mémoire pour obtenir par approximation les racines d'une équation algébraique qui a toutes les racines réelles. In: Nouv Ann Math 2e série. Band 19, 1880, S. 161–172, 193–202 (französisch).
• Jensen, Shane Tyler: The Laguerre–Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory (MSc). Department of Mathematics and Statistics McGill University 1999 (englisch, gc.ca [PDF]).