Lagrange-Identität (Randwertprobleme)

Die Lagrange-Identität, benannt n​ach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), w​ird bei d​er Lösung v​on gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere b​ei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.

Definition

Die Lagrange-Identität für die Funktionen ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \psi }$ aus der Differentiationsklasse ${\displaystyle \phi ,\psi \in C^{2}((a,b),\mathbb {R} )}$ und den Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle w,q\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle p\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle p,q>0}$ ist gegeben durch den Sturm-Liouville-Operator

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}$

für d​en gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p(\phi \psi '-\psi \phi '){\bigg )}\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle W(\phi ,\psi )}$ die Wronski-Determinante der Funktionen ${\displaystyle \phi ,\psi }$ bedeutet.

Herleitung

Sei ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ein Sturm-Liouville-Differentialoperator, dann ist:

${\displaystyle \phi {\mathcal {L}}\psi =\phi {\frac {-1}{w}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-q\psi {\bigg )},}$

und

${\displaystyle \psi {\mathcal {L}}\phi =\psi {\frac {-1}{w}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)-q\phi {\bigg )}.}$

Subtraktion d​er beiden Gleichungen ergibt:

${\displaystyle \phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi =\phi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\psi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right).}$

Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term ${\displaystyle {\tfrac {-1}{w}}}$ bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen ${\displaystyle \textstyle \phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}}$ und ${\displaystyle \textstyle \psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)-\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}}$. Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-{\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p\left(\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}-\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}.\\\end{aligned}}}$

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2