Differentiationsklasse

Die Differentiationsklasse[1] ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus dem Teilgebiet der Analysis. Sie ist ein Funktionenraum und umfasst alle Funktionen, die mindestens ${\displaystyle k}$-mal stetig differenzierbar sind, wobei ${\displaystyle k}$ eine natürliche Zahl ist. Notiert wird die Differentiationsklasse meist mittels ${\displaystyle C^{k}}$.

Definition

Sei ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ eine Zahl und ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ eine nichtleere, offene Teilmenge der reellen Zahlen. Eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ gehört dann zur Differentiationsklasse ${\displaystyle C^{k}(D)}$ beziehungsweise genauer ${\displaystyle C^{k}(D,\mathbb {R} )}$, wenn ${\displaystyle f}$ auf ganz ${\displaystyle D}$ mindestens ${\displaystyle k}$-mal stetig differenzierbar ist.[2]

Entsprechend der Definition wird mit ${\displaystyle C(D):=C^{0}(D)}$ die Klasse der stetigen Funktionen und mit ${\displaystyle C^{\infty }(D)}$ die Differentiationsklasse der beliebig oft differenzierbaren Funktionen bezeichnet.[2]

Verallgemeinerungen

Die Klasse der analytischen Funktionen wird manchmal in Analogie zu obiger Definition mit ${\displaystyle C^{\omega }(D)}$ bezeichnet.

Für stetige Funktionen ${\displaystyle g\colon {\tilde {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ im mehrdimensionalen euklidischen Vektorraum wird die Definition analog übernommen. Die Funktion ${\displaystyle g}$ gehört also zur Differentiationsklasse ${\displaystyle C^{k}({\tilde {D}},\mathbb {R} ^{m})}$, wenn sie auf ganz ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ mindestens ${\displaystyle k}$-mal stetig differenzierbar ist.[3][4]

Wenn sich die Anzahl der möglichen Differentiationen (${\displaystyle k,l,..}$) bei mehrdimensionalen Funktionen zwischen den einzelnen Variablen unterscheidet, so kann dem in einer Verallgemeinerung der obigen Notation Rechnung getragen werden: ${\displaystyle C^{k,l,..}(D).}$[5]

Auch für Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden die ${\displaystyle C^{k}}$-Differentiationsklassen analog definiert.

Teilmengenrelation

Sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge, dann gilt

${\displaystyle C^{\omega }(D)\subset C^{\infty }(D)\subset \dotsb \subset C^{k}(D)\subset \dotsb \subset C^{1}(D)\subset C^{0}(D)}$.

Je höher also der Index ${\displaystyle k}$ der Differentiationsklasse ist, desto weniger Funktionen umfasst sie.

Beispiele

• Die Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ist analytisch und gehört somit zur Klasse ${\displaystyle C^{\omega }(\mathbb {R} )}$.
• Die Betragsfunktion ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist stetig, aber nicht differenzierbar. Sie gehört also zur Klasse ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$, aber nicht zur Klasse ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} )}$.
• Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\mapsto |x|^{3}}$ ist zweimal stetig differenzierbar, aber nicht dreimal. Es gilt also ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} )\setminus C^{3}(\mathbb {R} )}$.
• Die Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle g(x)=\exp \left(-{\tfrac {1}{x^{2}}}\right)}$ für ${\displaystyle x\neq 0}$ und ${\displaystyle g(0)=0}$ ist beliebig oft differenzierbar und gehört somit zur Klasse ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$, aber sie ist nicht analytisch.
• Die Funktion ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle h(x)=x^{2}\sin(1/x)}$ für ${\displaystyle x\neq 0}$ und ${\displaystyle h(0)=0}$ ist überall differenzierbar, aber die Ableitungsfunktion ist an der Stelle Null nicht stetig. Somit gehört die Funktion nicht zur Klasse ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} )}$, sondern nur zur Klasse ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$.

Genügend glatt

Im Zusammenhang m​it der Differenzierbarkeit w​ird manchmal d​avon gesprochen, d​ass eine Funktion genügend glatt sei. Dies bedeutet, d​ass im jeweiligen Kontext genügend o​ft differenzierbar ist, m​an sich a​lso sozusagen k​eine zusätzlichen Gedanken u​m die Differenzierbarkeit machen muss.[6] Der Begriff leitet s​ich aus d​er Bezeichnung glatte Funktion für e​ine beliebig o​ft differenzierbare Funktion ab.

Einzelnachweise

1. Rolf Walter: Einführung in die Analysis. Band 3. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-11-020960-0, S. 59, 147ff.
2. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 155.
3. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 62.
4. Rolf Walter: Einführung in die Analysis 2. de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019540-8, S. 64, 448.
5. Prof. Martin Keller-Ressel: Stochastische Analysis. In: TU Dresden, Fakultät Mathematik. 23. Mai 2015, S. 46, abgerufen am 9. Januar 2020.
6. Dirk Langemann, Cordula Reisch: So einfach ist Mathematik – Partielle Differenzialgleichungen für Anwender. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-57501-7, S. 101.