Ladungskonjugation

Die Ladungskonjugation o​der C-Parität (für englisch Charge = Ladung) ersetzt i​n quantenmechanischen Zuständen j​edes Teilchen d​urch sein Antiteilchen. Sie spiegelt s​o das Vorzeichen d​er Ladung u​nd lässt Masse, Impuls, Energie u​nd Spin j​edes Teilchens unverändert.

Die elektromagnetische und die starke Wechselwirkung sind invariant unter Ladungskonjugation (kurz C-invariant), d. h., bei Streuung oder Zerfall verhalten sich die ladungsgespiegelten Zustände wie die ursprünglichen Zustände.
Dagegen ist die Schwache Wechselwirkung nicht C-invariant (Paritätsverletzung): Der Anteil des Elektrons, der bei schwachen Wechselwirkungen in ein Elektron-Neutrino und ein ${\displaystyle W^{-}}$-Boson übergehen kann, wird bei Ladungskonjugation durch den Teil des Positrons ersetzt, der nicht an die ${\displaystyle W}$-Bosonen koppelt.

Ladungskonjugation des Dirac-Feldes

Das Dirac-Feld ${\displaystyle \psi }$ wird bei Ladungskonjugation auf das Feld ${\displaystyle \psi _{c}}$ transformiert, das mit umgekehrter Ladung ${\displaystyle e}$ an die elektromagnetischen Potentiale ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}}$ koppelt. Wenn ${\displaystyle \psi }$ die Dirac-Gleichung (über den doppelten Index ${\displaystyle n}$ ist zu summieren)

${\displaystyle {\bigl (}\gamma ^{n}\,(\mathrm {i} \,\partial _{n}-eA_{n})-m{\bigr )}\psi =0}$

erfüllt, dann soll das ladungskonjugierte Feld ${\displaystyle \psi _{c}}$ der Gleichung

${\displaystyle {\bigl (}\gamma ^{n}\,(\mathrm {i} \,\partial _{n}+eA_{n})-m{\bigr )}\psi _{c}=0}$

genügen.

Komplex Konjugieren d​er ersten Gleichung ergibt

${\displaystyle {\bigl (}\gamma ^{n\,*}\,(-\mathrm {i} \,\partial _{n}-eA_{n})-m{\bigr )}\psi ^{*}=0\ .}$

Es erfüllt also ${\displaystyle \psi _{c}=B\psi ^{*}}$ die ladungskonjugierte Gleichung, wenn ${\displaystyle B}$ eine Matrix ist, für die gilt:

${\displaystyle -\gamma ^{n\,*}=B^{-1}\gamma ^{n}B}$

Solch eine Matrix gibt es für jede Darstellung der Dirac-Matrizen, denn alle irreduziblen Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, und ${\displaystyle -\gamma ^{n\,*}}$ stellt die Dirac-Algebra ebenso dar wie ${\displaystyle \gamma ^{n}\,.}$

Schreibt man ${\displaystyle \psi ^{*}=\gamma ^{0\,{\text{T}}}\,{\overline {\psi }}^{\text{T}}}$, so hat das ladungskonjugierte Feld die Form

${\displaystyle \psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\text{T}}}$ mit der Ladungskonjugationsmatrix ${\displaystyle C=B\,\gamma ^{0\,{\text{T}}}\,.}$

Wegen ${\displaystyle \gamma ^{n\,\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{n}\gamma ^{0}}$ erfüllt die Ladungskonjugationsmatrix

${\displaystyle -\gamma ^{n\,{\text{T}}}=C^{-1}\gamma ^{n}C\,.}$

In d​er Dirac-Darstellung d​er Gamma-Matrizen k​ann die Ladungskonjugationsmatrix als

${\displaystyle C=\mathrm {i} \,\gamma ^{2}\,\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}&-\mathrm {i} \sigma ^{2}\\-\mathrm {i} \sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

so gewählt werden, dass sie reell, antisymmetrisch und unitär ist, ${\displaystyle -C=C^{-1}=C^{\text{T}}=C^{\dagger }\,.}$

Eigenwerte und Eigenzustände

Für einen Eigenzustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ des C-Operators gilt

${\displaystyle {\mathcal {C}}\,|\psi \rangle =\eta _{C}\,|\psi \rangle }$,

wobei der Eigenwert ${\displaystyle \eta _{C}}$ die sogenannte C-Parität des entsprechenden Eigenzustandes (im weiteren Sinne also Teilchens) bezeichnet. Da der C-Operator eine Involution (Mathematik) ist und demnach (ähnlich zum Paritätsoperator) den Eigenzustand bei zweifacher Wirkung invariant lässt, gilt ferner

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}|\psi \rangle =\eta _{C}{\mathcal {C}}|\psi \rangle =\eta _{C}^{2}|\psi \rangle \,{\overset {!}{=}}\,|\psi \rangle }$,

sodass nur die Eigenwerte ${\displaystyle \eta _{C}=\pm 1}$ erlaubt sind. Insbesondere können nur neutrale Systeme (elektrische Ladung, Strangeness, Baryonenzahl, … = 0) Eigenzustände des C-Paritätsoperators sein, d. h. das Photon sowie gebundene Teilchen-Antiteilchen-Zustände wie das neutrale Pion ${\displaystyle \pi ^{0}}$ oder das Positronium.

Literatur

• Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber: Quantum Field Theory. McGraw-Hill, New York 1980, ISBN 0-07-032071-3.

Siehe auch

• CP-Verletzung
• CPT-Theorem