Kretschmann-Skalar

Der Kretschmann-Skalar $K$ (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.[1]

Definition

Der Kretschmann-Skalar $K$ ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

K=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{\kappa =0}^{3}\sum _{\lambda =0}^{3}\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }

.

Hierbei bezeichnet $R_{\kappa \lambda \mu \nu }$ den Riemannschen Krümmungstensor und $\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{i=0}^{3}g^{\kappa i}\,\sum _{j=0}^{3}g^{\lambda j}\,\sum _{k=0}^{3}g^{\mu k}\,\sum _{l=0}^{3}g^{\nu l}\,R_{ijkl}\,$ .

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor $C_{\kappa \lambda \mu \nu }$ , den Ricci-Tensor $R_{\kappa \lambda }$ sowie den Ricci-Skalar $R$ wie folgt ausgedrückt werden:[2]

K=C_{\kappa \lambda \mu \nu }\,C^{\kappa \lambda \mu \nu }+2R_{\kappa \lambda }\,R^{\kappa \lambda }-{\frac {1}{3}}R^{2}

Beispiel

Für die Schwarzschild-Metrik ist der Kretschmann-Skalar mit dem Schwarzschild-Radius $r_{s}$ gegeben durch:[3]

K={\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}

Einzelnachweise

Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The American Astronomical Society (Hrsg.): The Astrophysical Journal. 535, 2000, S. 350–353. arxiv:astro-ph/9912320v1. bibcode:2000ApJ...535..350H. doi:10.1086/308819.
Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.

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[1] Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The American Astronomical Society (Hrsg.): The Astrophysical Journal. 535, 2000, S. 350–353. arxiv:astro-ph/9912320v1. bibcode:2000ApJ...535..350H. doi:10.1086/308819.

[2] Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags

[3] Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.