Konvexe Abbildung

Eine konvexe Abbildung i​st in d​er Mathematik e​ine Verallgemeinerung e​iner konvexen Funktion a​uf allgemeine geordnete Vektorräume. Sie enthält einige unterschiedliche Klassen v​on konvexen Funktionen a​ls Spezialfälle.

Definition

Gegeben seien zwei reelle Vektorräume ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ sowie eine konvexe Menge ${\displaystyle M\subset V_{1}}$ und ein Ordnungskegel ${\displaystyle K}$ auf ${\displaystyle V_{2}}$. Dann heißt eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to V_{2}}$ konvex auf der Menge ${\displaystyle M}$ genau dann, wenn

${\displaystyle \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)-f(\lambda x+(1-\lambda )y)\in K}$

ist für alle ${\displaystyle x,y\in M}$ und ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$.

Beispiele

• Jede konvexe Funktion ${\displaystyle f\colon V\supset M\to \mathbb {R} }$ ist eine konvexe Abbildung bezüglich des Ordnungskegels ${\displaystyle K=[0,\infty )}$.
• Jede konkave Funktion ${\displaystyle f\colon V\supset M\to \mathbb {R} }$ ist eine konvexe Abbildung bezüglich des Ordnungskegels ${\displaystyle K=(-\infty ,0]}$.
• Jede K-konvexe Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{m}\supset M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ist eine konvexe Abbildung bezüglich des Ordnungskegels ${\displaystyle K}$, der in diesem Fall sogar ein echter Kegel ist.
• Jede matrix-konvexe Funktion ${\displaystyle f\colon V\supset M\to S^{n}}$ ist eine konvexe Abbildung. ${\displaystyle S^{n}}$ bezeichnet den Vektorraum der symmetrischen reellen Matrizen. Der Ordnungskegel ist der semidefinite Kegel, die korrespondierende Ordnung die Loewner-Halbordnung.
• Jede lineare Abbildung ${\displaystyle l}$ ist eine konvexe Abbildung. Es ist immer

${\displaystyle \lambda l(x)+(1-\lambda )l(y)-l(\lambda x+(1-\lambda )y)=0}$.

Da ein Ordnungskegel aber immer die Null enthält, ist jede lineare Abbildung konvex.

Eigenschaften

• Subniveaumengen einer konvexen Abbildung, also Mengen der Form

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}(c):=\{x\in M\mid c-f(x)\in K\}}$

sind konvex. Dies folgt aus der Konvexität des Ordnungskegels.

• Ist der Ordnungskegel spitz, und sind sowohl die Abbildung ${\displaystyle l}$ als auch die Abbildung ${\displaystyle -l}$ konvex, dann ist ${\displaystyle l}$ linear. Auf die zusätzliche Forderung an den Ordnungskegel kann nicht verzichtet werden, da erst diese die nötige Antisymmetrie der Ordnungsrelation garantiert.

Verwendung

Abgesehen v​on den vielfältigen Anwendungen d​er oben aufgeführten Spezialfälle e​iner konvexen Abbildung werden konvexe Abbildungen z​um Beispiel i​n der konvexen Optimierung i​n unendlichdimensionalen Räumen genutzt, u​m Restriktionsmengen z​u modellieren. Aufgrund d​er Konvexität d​er Subniveaumengen s​ind diese Restriktionsmengen konvex u​nd garantieren d​amit bei konvexen Zielfunktionalen, d​ass jedes lokale Optimum e​in globales Optimum ist.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung e​iner konvexen Abbildung s​ind die fast-konvexen Funktionen. Bei i​hnen wird lediglich gefordert, d​ass eine gewisse Menge oberhalb i​hres Graphen konvex ist. Jede konvexe Abbildung i​st fast-konvex.

Literatur

• Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.