Konvex-kokompakte Gruppe

In d​er mathematischen Theorie d​er Kleinschen Gruppen s​ind konvex-kokompakte Gruppen e​ine Verallgemeinerung kokompakter Gitter m​it zahlreichen Anwendungen e​twa in d​er Theorie d​er dynamischen Systeme, d​er niedrig-dimensionalen Topologie u​nd der harmonischen Analysis.

Sie können n​icht nur i​n der Theorie d​er Kleinschen Gruppen, sondern a​uch allgemeiner i​n der Theorie v​on diskreten Isometriegruppen nichtpositiv gekrümmter Räume betrachtet werden.

Definition

Eine diskrete Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ von Isometrien eines CAT(0)-Raumes ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ (zum Beispiel des hyperbolischen Raumes ${\displaystyle H^{n}}$ ) heißt konvex-kokompakt, wenn der konvexe Kern von ${\displaystyle M=\Gamma \backslash {\widetilde {M}}}$ kompakt ist.

Konvex-kokompakte Kleinsche Gruppen

Für Kleinsche Gruppen ${\displaystyle \Gamma \subset Isom^{+}(H^{3})=PSL(2,\mathbb {C} )}$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

• ${\displaystyle \Gamma }$ ist konvex-kokompakt.
• Jeder Punkt der Limesmenge ist ein konischer Grenzpunkt.
• Jeder Punkt der Limesmenge ist ein horosphärischer Grenzpunkt.
• Die Kleinsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))/\Gamma }$ ist kompakt.

Konvex-kokompakte Gruppen in höherem Rang

Sei ${\displaystyle {\widetilde {M}}=G/K}$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Wenn ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ irreduzibel und vom Rang ${\displaystyle \geq 2}$ ist, dann sind die kokompakten Gitter die einzigen konvex-kokompakten Untergruppen von ${\displaystyle G}$ .

Bei beliebigen symmetrischen Räumen nichtkompakten Typs ${\displaystyle {\widetilde {M}}=G/K}$ gibt es zu jeder konvex-kokompakten Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ Zerlegungen ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$ und ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}\times \ldots \times \Gamma _{r}}$ mit ${\displaystyle \Gamma _{i}\subset G_{i}}$ für ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$ , so dass für jedes ${\displaystyle i}$ entweder ${\displaystyle rank(G_{i}/K_{i})=1}$ oder ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ein kokompaktes Gitter in ${\displaystyle G_{i}}$ ist.[1]

Deshalb werden i​n der Theorie d​er symmetrischen Râume höheren Rangs RCA-Gruppen a​ls reichhaltigere Verallgemeinerung konvex-kokompakter Gruppen untersucht.

Literatur

• William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds online
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9
• Canary, R. D.; Epstein, D. B. A.; Green, P. L.: Notes on notes of Thurston. With a new foreword by Canary. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.

Einzelnachweise

1. B. Kleiner, B. Leeb: Rigidity of invariant convex sets in symmetric spaces. Invent. Math. 163 (2006), no. 3, 657–676