Konstruierbare Menge (Topologie)

Eine konstruierbare Menge i​st eine spezielle Teilmenge e​ines topologischen Raumes u​nd damit e​in Objekt a​us der Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Konstruierbare Mengen werden v​or allem i​n der algebraischen Geometrie betrachtet.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ heißt konstruierbar, wenn sie eine endliche Vereinigung von lokal abgeschlossenen Teilmengen ist. Das heißt, es gibt ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, offene Teilmengen ${\displaystyle O_{i}\subseteq X}$ und abgeschlossene Teilmengen ${\displaystyle A_{i}\subseteq X}$ mit

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}(O_{i}\cap A_{i})}$.

Eigenschaften

• Die konstruierbaren Mengen eines topologischen Raumes bilden eine Boolesche Algebra, das heißt, endliche Schnitte, endliche Vereinigungen und Komplemente konstruierbarer Mengen sind konstruierbar. Diese Boolesche Algebra ist gerade die von den offenen bzw. den abgeschlossenen Mengen erzeugte Boolesche Algebra.[1]
• Seien ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ topologische Räume, ${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$ eine stetige Abbildung. Dann sind Urbilder ${\displaystyle f^{-1}(A)\subseteq X_{1}}$ konstruierbarer Teilmengen ${\displaystyle A\subseteq X_{2}}$ unter ${\displaystyle f}$ wieder konstruierbar.[2]
• Sei ${\displaystyle X}$ ein noetherscher topologischer Raum, ${\displaystyle Y\subseteq X}$ eine konstruierbare Teilmenge. Dann gibt es eine Teilmenge ${\displaystyle Z\subseteq Y}$, sodass ${\displaystyle Z}$ eine offene dichte Teilmenge des Abschlusses ${\displaystyle {\bar {Y}}}$ ist.[3]
• Konstruierbare Mengen sind mit Morphismen algebraischer Varietäten verträglich, das heißt: Sind ${\displaystyle X,Y}$ algebraische Varietäten, ${\displaystyle \phi \colon X\to Y}$ ein Morphismus algebraischer Varietäten und ${\displaystyle M\subseteq X}$ eine konstruierbare Menge, so ist auch ${\displaystyle \phi (M)}$ konstruierbar.[4][5]

Einzelnachweise

1. Borel: Linear Algebraic Groups. 1991, Chapter AG, §1, 1.3.
2. Borel: Linear Algebraic Groups. 1991, Chapter AG, §1, 1.3.
3. Borel: Linear Algebraic Groups. 1991, Chapter AG, §1, 1.3.
4. Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 4.4 Constructible Sets, Theorem.
5. Harris: Algebraic Geometry. A First Course. 1992, Theorem 3.16.

Literatur

• Joe Harris: Algebraic Geometry. A First Course. Springer, New Your 1992, ISBN 3-540-97716-3, Lecture 3, Constructible sets.
• Armand Borel: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97370-2, Chapter AG, §1, 1.3.
• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7, 4.4 Constructible Sets.