Kommensurator

Der Kommensurator v​on Untergruppen i​st ein Begriff a​us der Gruppentheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik.

Definition

Der Kommensurator der Untergruppe einer Gruppe , bezeichnet mit oder, falls die Gruppe aus dem Kontext ersichtlich ist, auch mit , ist

.

Der Kommensurator ist eine Untergruppe von .

Beispiele

  • Wenn eine abelsche Gruppe ist, dann ist für jede Untergruppe .
  • Allgemeiner, wenn ein Normalteiler ist, dann ist .
  • Der Kommensurator eines -Faktors im freien Produkt ist .
  • Allgemeiner, der Kommensurator einer quasikonvexen Untergruppe einer hyperbolischen Gruppe ist .
  • Der Kommensurator von in ist .

Anwendung: Charakterisierung arithmetischer Gitter

Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter in einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist arithmetisch dann und nur dann, wenn unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn .

Literatur

  • Zimmer, Robert J.: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, 81. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984. ISBN 3-7643-3184-4
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