Kommensurator

Der Kommensurator v​on Untergruppen i​st ein Begriff a​us der Gruppentheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik.

Definition

Der Kommensurator der Untergruppe ${\displaystyle H}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$, bezeichnet mit ${\displaystyle \operatorname {comm} _{G}(H)}$ oder, falls die Gruppe ${\displaystyle G}$ aus dem Kontext ersichtlich ist, auch mit ${\displaystyle \operatorname {comm} (H)}$, ist

${\displaystyle \operatorname {comm} _{G}(H)=\left\{g\in G:gHg^{-1}\cap H{\mbox{ hat endlichen Index in }}H{\mbox{ und }}gHg^{-1}\right\}}$.

Der Kommensurator ist eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$.

Beispiele

• Wenn ${\displaystyle G}$ eine abelsche Gruppe ist, dann ist ${\displaystyle \operatorname {comm} _{G}(H)=G}$ für jede Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$.
• Allgemeiner, wenn ${\displaystyle H\subset G}$ ein Normalteiler ist, dann ist ${\displaystyle \operatorname {comm} _{G}(H)=G}$.
• Der Kommensurator eines ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Faktors im freien Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Allgemeiner, der Kommensurator einer quasikonvexen Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ einer hyperbolischen Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ${\displaystyle H}$.
• Der Kommensurator von ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ in ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ ist ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Q} )}$.

Anwendung: Charakterisierung arithmetischer Gitter

Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ in einer halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ ist arithmetisch dann und nur dann, wenn ${\displaystyle \Gamma }$ unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn ${\displaystyle [\operatorname {comm} _{G}(\Gamma ):\Gamma ]=\infty }$.

Literatur

• Zimmer, Robert J.: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, 81. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984. ISBN 3-7643-3184-4