Kommensurabilität (Mathematik)

In d​er Mathematik w​ird der Begriff Kommensurabilität i​n verschiedenen Zusammenhängen verwendet, n​eben der klassischen Verwendung (siehe Inkommensurabilität (Mathematik)) z​um Beispiel a​uch in Gruppentheorie u​nd Topologie.

Klassische Verwendung des Begriffs Kommensurabilität

→ Hauptartikel: Inkommensurabilität (Mathematik)

Zwei reelle Zahlen a u​nd b heißen kommensurabel (lat. zusammen messbar), w​enn sie ganzzahlige Vielfache e​iner geeigneten dritten reellen Zahl c sind.

Diese Bedingung ist (für ${\displaystyle b\not =0}$) äquivalent dazu, dass das Verhältnis ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ eine rationale Zahl ist:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=x\in \mathbb {Q} }$.

(Außerdem ist ${\displaystyle b=0}$ zu jeder reellen Zahl kommensurabel.)

Zum Beispiel sind alle rationalen Zahlen zueinander kommensurabel. Die Seite ${\displaystyle a}$ eines Quadrats und die Länge ${\displaystyle d}$ seiner Diagonalen sind inkommensurabel, denn nach dem Satz des Pythagoras ist ${\displaystyle {\tfrac {d}{a}}={\sqrt {2}}}$, und die Annahme, dass dies eine Bruchzahl ist, lässt sich widerlegen. Hingegen sind ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ zueinander kommensurabel.

Gruppentheorie

Untergruppen einer gegebenen Gruppe

Sei ${\displaystyle G}$ eine gegebene Gruppe, dann heißen zwei Untergruppen ${\displaystyle H_{1},H_{2}\subset G}$ zueinander kommensurabel, wenn der Durchschnitt ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}$ endlichen Index sowohl in ${\displaystyle H_{1}}$ als in ${\displaystyle H_{2}}$ hat.

Zum Beispiel sind aller Untergruppen der Gruppe der ganzen Zahlen zueinander kommensurabel: alle Untergruppen von ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ sind von der Form ${\displaystyle H_{1}=m\mathbb {Z} ,H_{2}=n\mathbb {Z} }$ für geeignete ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$, der Durchschnitt ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=\operatorname {kgV} (m,n)\mathbb {Z} }$ hat endlichen Index ${\displaystyle {\frac {\operatorname {kgV} (m,n)}{n}}}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {\operatorname {kgV} (m,n)}{m}}}$ in ${\displaystyle H_{1}}$ bzw. ${\displaystyle H_{2}}$.

Abstrakte Gruppen

Zwei Gruppen ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ heißen zueinander kommensurabel, wenn es einen Isomorphismus ${\displaystyle \phi \colon K_{1}\rightarrow K_{2}}$ zweier Untergruppen ${\displaystyle K_{1}\subset H_{1},K_{2}\subset H_{2}}$ endlichen Indexes gibt.

Dies ist insbesondere der Fall für kommensurable Untergruppen einer gegebenen Gruppe, hier kann man ${\displaystyle K_{1}=K_{2}=H_{1}\cap H_{2}}$ und ${\displaystyle \phi =id}$ setzen.

Zwei Untergruppen e​iner gegebenen Gruppe, d​ie als abstrakte Gruppen kommensurabel sind, müssen n​icht unbedingt i​m Sinne d​es vorherigen Abschnitts kommensurable Untergruppen sein.

Geometrische Gruppentheorie

Auf endlich erzeugten Gruppen kann man mit der Wort-Metrik eine Struktur eines metrischen Raumes auf dem Cayley-Graphen definieren. Kommensurable Gruppen haben quasi-isometrische Cayley-Graphen, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Es gibt aber eine Reihe von Spezialfällen, in denen auch die Umkehrung gilt. Zum Beispiel ist eine Gruppe genau dann quasi-isometrisch zu ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, wenn sie (abstrakt) kommensurabel zu ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ist; oder sie ist quasi-isometrisch zu einer freien Gruppe genau dann, wenn sie zur freien Gruppe (abstrakt) kommensurabel ist. Wenn ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}}$ Fundamentalgruppen zweier nicht-kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens und gleicher Dimension ${\displaystyle n\geq 3}$ sind, dann sind sie quasi-isometrisch genau dann, wenn sie (als Untergruppen der Isometriegruppe des hyperbolischen Raumes) zueinander kommensurabel sind.[1] Hingegen sind alle Fundamentalgruppen kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension zueinander quasi-isometrisch, sie sind aber nicht immer zueinander kommensurabel.

Topologie

Zwei topologische Räume ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ heißen kommensurabel, wenn es einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ mit endlichen Überlagerungen ${\displaystyle p_{1}\colon X\rightarrow X_{1},p_{2}\colon X\rightarrow X_{2}}$ gibt.

Zum Beispiel s​ind verschiedene Linsenräume zueinander kommensurabel, w​eil sie a​lle von d​er Sphäre endlich überlagert werden.

Der topologische und der gruppentheoretische Kommensurabilitätsbegriff hängen wie folgt zusammen. Wenn zwei topologische Räume kommensurabel zueinander sind, dann sind ihre Fundamentalgruppen kommensurabel, denn ${\displaystyle \pi _{1}X_{1}}$ und ${\displaystyle \pi _{1}X_{2}}$ enthalten jeweils eine Untergruppe von endlichem Index, die zu ${\displaystyle \pi _{1}X}$ isomorph ist.

Für Räume, die eine gemeinsame universelle Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ besitzen, zum Beispiel hyperbolische Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension, gilt auch die Umkehrung: zwei solche Räume sind kommensurabel genau dann, wenn ihre Fundamentalgruppen als Untergruppen der Gruppe der Homöomorphismen von ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ kommensurabel sind.

Weblinks

• Luisa Paoluzzi: The notion of commensurability in group theory and geometry

Einzelnachweise

1. Richard Evan Schwartz: The quasi-isometry classification of rank one lattices. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 82 (1995), 133–168 (1996).