Richard Evan Schwartz

Richard Evan Schwartz (* 11. August 1966 in Los Angeles) ist ein US-amerikanischer Mathematiker, der sich mit geometrischer Gruppentheorie, Geometrie und Dynamischen Systemen vom Billard-Typ befasst.

Leben

Schwartz studierte an der University of California, Los Angeles (Bachelor-Abschluss 1987) und wurde 1991 an der Princeton University bei William Thurston promoviert (The limit sets of some infinitely generated Schottky groups).[1] Er lehrte an der University of Maryland und ist Professor an der Brown University.

1992 führte er die Pentagramm-Abbildung (Pentagram map) ein, eine Abbildung von geschlossenen konvexen Polygonen (auf das Polygon, das durch die Schnittstellen der kürzesten Diagonalen gebildet wird) in der reellen projektiven Ebene, die als diskretes Dynamisches System betrachtet werden kann.[2][3][4] Es ist sogar exakt integrierbar.[5]

1989 bewies er eine Vermutung von Goldman und John Parker, die eine vollständige Beschreibung des Modulraums der komplexen hyperbolischen idealen Dreiecks-Gruppe[6] liefert.[7]

2007 bewies er die Existenz von unbeschränkten Orbits von Outer Billards (ein dynamisches System, das in den 1950er Jahren von Bernhard Neumann als Spielzeug-Modell für Himmelsmechanik eingeführt wurde).[8][9]

Er schrieb ein Kinderbuch über Mathematik, ursprünglich aus Comics entstanden, die er für seine Tochter zeichnete.

2002 war er Invited Speaker auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Peking (Complex hyperbolic triangle groups). Er ist Fellow der American Mathematical Society. Ab 1996 war er Forschungsstipendiat der Alfred P. Sloan Foundation (Sloan Research Fellow).

Schriften

Spherical CR Geometry and Dehn Surgery, Annals of Mathematics Studies 165, Princeton University Press 2007
Outer Billiards on Kites, Annals of Mathematics Studies, 171, Princeton University Press 2009
You Can Count on Monsters A.K. Peters Ltd., 2010 (mathematisches Kinderbuch)
Really Big Numbers, American Math Society, 2014 (mathematisches Kinderbuch)
Mostly Surfaces, American Math Society, 2011 unformatiertes pdf
Elementary surprises in projective geometry, Mathematical Intelligencer 2010
Pappus' theorem and the modular group. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 78 (1993), 187–206 (1994).
The quasi-isometry classification of rank one lattices. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 82 (1995), 133–168 (1996).
Quasi-isometric rigidity and Diophantine approximation. Acta Math. 177 (1996), no. 1, 75–112.
mit Benson Farb: The large-scale geometry of Hilbert modular groups. J. Differential Geom. 44 (1996), no. 3, 435–478.
Symmetric patterns of geodesics and automorphisms of surface groups. Invent. Math. 128 (1997), no. 1, 177–199.
Degenerating the complex hyperbolic ideal triangle groups. Acta Math. 186 (2001), no. 1, 105–154.
Ideal triangle groups, dented tori, and numerical analysis. Ann. of Math. (2) 153 (2001), no. 3, 533–598.
Complex hyperbolic triangle groups. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), 339–349, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
Unbounded orbits for outer billiards. I. J. Mod. Dyn. 1 (2007), no. 3, 371–424.
mit Valentin Ovsienko, Serge Tabachnikov: The pentagram map: A discrete integrable system. Comm. Math. Phys. 299 (2010), no. 2, 409–446.
mit Valentin Ovsienko, Serge Tabachnikov: Liouville-Arnold integrability of the pentagram map on closed polygons. Duke Math. J. 162 (2013), no. 12, 2149–2196.

Literatur

Marcel Berger: Dynamiser la géométrie élémentaire: introduction à des travaux de Richard Schwartz. Rend. Mat. Appl.(7) 25 (2005), no. 2, 127–153. pdf (Memento vom 22. April 2014 im Internet Archive)

Weblinks

Homepage

Einzelnachweise

Mathematics Genealogy Project
Schwartz The Pentagram Map, Journal of Experimental Mathematics, Band 1, 1992, S. 71–81
Schwartz The pentagram map is recurrent, J. of Exp. Math., Band 10, 2001, S. 519–528
Schwartz Discrete monodromy, pentagrams and the method of condensation, J. Fixed Point Theory and Applications, Band 3, 2008, S. 379–409
Ovsienko, Serge Tabachnikov, Schwartz The pentagram map: a discrete integrable system, Communications in Mathematical Physics, Band 299, 2010, S. 409–446, pdf
Erzeugt durch Reflexionen an den Seiten eines idealen Dreiecks in der hyperbolischen Ebene
Schwartz Ideal triangle groups, dented tori and numerical analysis, Annals of Mathematics, Band 153, 2001, S. 554–598
Outer Billards bilden einen Punkt P außerhalb eines konvexen beschränkten Gebiets S auf einen Punkt Q ab, so dass die Tangente von P auf S die Strecke PQ teilt. Für seinen Beweis der Existenz unbeschränkter Orbits nahm Schwartz für S unter anderem einen Penrose Kite.
Schwartz Unbounded orbits for outer billards, Journal of Modern Dynamics, Band 3, 2007

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[1] Mathematics Genealogy Project

[2] Schwartz The Pentagram Map, Journal of Experimental Mathematics, Band 1, 1992, S. 71–81

[3] Schwartz The pentagram map is recurrent, J. of Exp. Math., Band 10, 2001, S. 519–528

[4] Schwartz Discrete monodromy, pentagrams and the method of condensation, J. Fixed Point Theory and Applications, Band 3, 2008, S. 379–409

[5] Ovsienko, Serge Tabachnikov, Schwartz The pentagram map: a discrete integrable system, Communications in Mathematical Physics, Band 299, 2010, S. 409–446, pdf

[6] Erzeugt durch Reflexionen an den Seiten eines idealen Dreiecks in der hyperbolischen Ebene

[7] Schwartz Ideal triangle groups, dented tori and numerical analysis, Annals of Mathematics, Band 153, 2001, S. 554–598

[8] Outer Billards bilden einen Punkt P außerhalb eines konvexen beschränkten Gebiets S auf einen Punkt Q ab, so dass die Tangente von P auf S die Strecke PQ teilt. Für seinen Beweis der Existenz unbeschränkter Orbits nahm Schwartz für S unter anderem einen Penrose Kite.

[9] Schwartz Unbounded orbits for outer billards, Journal of Modern Dynamics, Band 3, 2007