Kollineare Punkte

Kollinearität ist ein mathematischer Begriff, der in der Analytischen Geometrie und in der linearen Algebra verwendet wird.[1] Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es immer eindeutig eine Gerade, auf der sie liegen. In der Analytischen Geometrie nennt man verschiedene Punkte, die auf einer gemeinsamen Geraden liegen, kollinear.[2] Das Adjektiv "kollinear" kann vom lateinischen "linea recta" (gerade Linie) oder auch vom Verb "collineare" (geradeaus zielen) abgeleitet werden. Die Kollinearität von Punkten spielt sowohl in der affinen Geometrie als auch in der projektiven Geometrie eine wichtige Rolle, da sie invariant unter bestimmten, als Kollineationen bezeichneter Abbildungen ist.[3]

Kollineare Vektoren

In der linearen Algebra bedeutet Kollinearität bei Vektoren eines Vektorraums, dass der von diesen Vektoren aufgespannte Untervektorraum die Dimension 1 hat. Betrachtet man zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, dann ist Kollinearität gleichbedeutend damit, dass anschaulich jeder der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist, mathematisch präziser, dass jeder der beiden Vektoren durch Multiplikation mit einem Skalar, d. h. einer von Null verschiedenen (richtungslosen) Zahl $\beta \in \mathbb {R} ^{\neq 0}$ , in den jeweils anderen Vektor überführt werden kann. Beide Vektoren sind damit gemäß folgender Gleichung linear abhängig:

{\vec {a}}=\beta \cdot {\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {a}}-\beta \cdot {\vec {b}}={\vec {0}}

Lässt man die beiden Vektoren am Koordinatenursprung beginnen, liegen beide auf einer Geraden, zeigen also beide in dieselbe (oder die exakt entgegengesetzte) Richtung und haben dabei im Allgemeinen verschiedene Längen.

Kollinearitätsuntersuchungen werden häufig bei der Untersuchung der Lagebeziehungen zwischen mehreren Geraden durchgeführt. Geraden mit kollinearen Richtungsvektoren sind entweder identisch oder „echt“ parallel.[4]

Siehe auch

Weblinks

Commons: Kollinearität – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eric W. Weisstein: Collinear. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 69.
Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 70.
Horst Tietz: Lineare Geometrie. Vandenhoeck&Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03408-3, S. 204.
H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 69 - 73.

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[1] H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 69.

[2] Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 70.

[3] Horst Tietz: Lineare Geometrie. Vandenhoeck&Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03408-3, S. 204.

[4] H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 69 - 73.