Monoidale Kategorie

In der Mathematik bezeichnet eine monoidale Kategorie eine Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, die mit einem zweistelligen Funktor ${\displaystyle \otimes \colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ und einem Einheitsobjekt ${\displaystyle I\in \left|{\mathcal {C}}\right|}$ ausgestattet ist.

Die Verknüpfung muss assoziativ in dem Sinne sein, dass es eine natürliche Äquivalenz ${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C),}$

gibt; ${\displaystyle I}$ muss links- und rechtsneutral in dem Sinne sein, dass es natürliche Äquivalenzen ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \rho }$ gibt, gegeben durch

${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\to A}$ und ${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\to A}$.

Diese natürlichen Transformationen sollen kohärent sein. Alle nötigen Kohärenzbedingungen folgen a​us der Kommutativität d​er folgenden beiden Diagramme:

und

Aus diesen beiden Bedingungen folgt, d​ass jedes solche Diagramm kommutiert: Das i​st Mac Lanes "Kohärenzsatz".

• Eine monoidale Kategorie kann als Bikategorie mit einem Objekt angesehen werden.
• In einer monoidalen Kategorie lässt sich der Begriff des Monoid-Objekts definieren, der den des Monoids verallgemeinert.

Beispiele

Jede Kategorie, d​ie endliche Produkte u​nd ein Endobjekt enthält, k​ann als symmetrisch monoidale Kategorie betrachtet werden: Der zweistellige Funktor w​ird durch e​ine natürliche Auswahl v​on Produkten definiert u​nd das Endobjekt i​st das Einheitsobjekt. Analog können w​ir als zweistelligen Funktor e​in Koprodukt u​nd als Einheitsobjekt e​in Anfangsobjekt wählen.

Wir zeigen n​un parallel d​ie Struktur zweier solcher monoidaler Kategorien:

${\displaystyle R}$-Mod	Set
Für einen kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ ist die Kategorie ${\displaystyle R}$-Mod der ${\displaystyle R}$-Moduln eine symmetrische monoidale Kategorie mit Produkt ${\displaystyle \otimes }$ (dem Tensorprodukt) und Einheit ${\displaystyle R}$.	Die Kategorie Set ist symmetrisch monoidal mit Produkt ${\displaystyle \times }$ und Einheit ${\displaystyle \{*\}}$.
Eine unitäre assoziative Algebra ist ein Objekt von ${\displaystyle R}$-Mod zusammen mit Pfeilen ${\displaystyle \nabla \colon A\otimes A\to A}$ und ${\displaystyle \eta \colon R\rightarrow A}$, für die folgende Diagramme kommutieren:	Ein Monoid ist ein Objekt M zusammen mit Pfeilen ${\displaystyle \circ \colon M\times M\rightarrow M}$ und ${\displaystyle 1\colon \{*\}\to M}$, für die folgende Diagramme kommutieren:
und	und
.	.
Eine Koalgebra ist ein Objekt C mit Pfeilen ${\displaystyle \Delta \colon C\to C\otimes C}$ und ${\displaystyle \varepsilon \colon C\to R}$, für die folgende Diagramme kommutieren:	Zu jedem Objekt S in der Kategorie Set gibt es zwei eindeutig bestimmte Pfeile ${\displaystyle \Delta \colon S\to S\times S}$ und ${\displaystyle \varepsilon \colon S\to \{*\}}$, für die folgende Diagramme kommutieren:
und	und
.	.
	Insbesondere ist ${\displaystyle \varepsilon }$ eindeutig, weil ${\displaystyle \{*\}}$ Endobjekt ist.

Quellen

• Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
• Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.