Knödel-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Knödel-Zahl zu einer gegebenen ganzen Zahl ${\displaystyle n}$ eine zusammengesetzte Zahl ${\displaystyle m}$ mit der Eigenschaft, dass alle zu ${\displaystyle m}$ teilerfremden ${\displaystyle i<m}$ die Kongruenz ${\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}$ erfüllen. Diese Eigenschaft ist nach Walter Knödel benannt. Die Menge aller Knödel-Zahlen von ${\displaystyle n}$ wird mit ${\displaystyle K_{n}}$ bezeichnet.

Die Spezialfälle ${\displaystyle K_{1}}$ sind die Carmichael-Zahlen.

Jede zusammengesetzte Zahl ist eine Knödel-Zahl, indem man ${\displaystyle n:=m-\varphi (m)}$ setzt. Mit ${\displaystyle \varphi (m)}$ ist die Eulersche Phi-Funktion gemeint.

Beispiele

Beispiel 1:

Sei ${\displaystyle n:=4}$ und ${\displaystyle m:=12.}$

Dann sind die Zahlen ${\displaystyle i=1,5,7}$ und ${\displaystyle 11}$ zu ${\displaystyle m=12}$ teilerfremd. Es gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{12-4}&=&1&&&\equiv &1{\pmod {12}}\\5^{12-4}&=&390625&=&32552\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\\7^{12-4}&=&5764801&=&480400\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\\11^{12-4}&=&214358881&=&17863240\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\end{aligned}}}$

Somit erfüllen alle zu ${\displaystyle m=12}$ teilerfremden Zahlen ${\displaystyle i}$ die Kongruenz ${\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}$.

Also ist ${\displaystyle m=12}$ eine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt ${\displaystyle 12\in K_{4}}$.

Beispiel 2:

Sei ${\displaystyle n:=4}$ und ${\displaystyle m:=14.}$

Dann sind die Zahlen ${\displaystyle i=1,3,5,9,11}$ und ${\displaystyle 13}$ zu ${\displaystyle m=14}$ teilerfremd. Es gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{14-4}&=&1&&&&\equiv &\quad 1&{\pmod {14}}\\3^{14-4}&=&59049&=&4217\cdot 14&+11&\equiv &\quad 11&{\pmod {14}}\\5^{14-4}&=&9765625&=&697544\cdot 14&+9&\equiv &\quad 9&{\pmod {14}}\\9^{14-4}&=&3486784401&=&249056028\cdot 14&+9&\equiv &\quad 9&{\pmod {14}}\\11^{14-4}&=&25937424601&=&1852673185\cdot 14&+11&\equiv &\quad 11&{\pmod {14}}\\13^{14-4}&=&137858491849&=&9847035132\cdot 14&+1&\equiv &\quad 1&{\pmod {14}}\end{aligned}}}$

Somit erfüllen nicht alle zu ${\displaystyle m=14}$ teilerfremden Zahlen ${\displaystyle i}$ die Kongruenz ${\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}$.

Eigentlich hätte man die Berechnung schon bei ${\displaystyle i=3}$ abbrechnen können. Also ist ${\displaystyle m=14}$ keine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt ${\displaystyle 14\not \in K_{4}}$.

Beispiel 3:

Es folgt noch eine Liste der ersten Elemente der Mengen ${\displaystyle K_{1}}$ bis ${\displaystyle K_{10}}$:

n	Kn
1	{561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, … }	Folge A002997 in OEIS
2	{4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, … }	Folge A050990 in OEIS
3	{9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … }	Folge A033553 in OEIS
4	{6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, … }	Folge A050992 in OEIS
5	{25, 65, 85, 145, 165, 185, 205, 265, … }	Folge A050993 in OEIS
6	{8, 10, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 66, … }	Folge A208154 in OEIS
7	{15, 49, 91, 133, 217, 259, 301, 427, … }	Folge A208155 in OEIS
8	{12, 14, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, … }	Folge A208156 in OEIS
9	{21, 27, 45, 63, 99, 105, 117, 153, … }	Folge A208157 in OEIS
10	{12, 24, 28, 30, 50, 70, 110, 130, … }	Folge A208158 in OEIS

Literatur

• A. Makowski: Generalization of Morrow’s D-Numbers 1963, S. 71.
• Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag, New York 1989, ISBN 978-0-387-94457-9, S. 101.