Kapazität (Mathematik)

Eine Kapazität (engl. capacity) i​st eine monotone Mengenfunktion u​nd Ausgangspunkt vieler mathematischer Untersuchungen, z. B. i​n der Maßtheorie, d​er Wahrscheinlichkeitstheorie, d​er Evidenztheorie. Der Begriff Kapazität g​eht zurück a​uf den französischen Mathematiker Gustave Choquet[1], m​an spricht d​aher auch häufig v​on Choquet-Kapazitäten. Angelehnt a​n eine Arbeit v​on Sugeno[2] hießen Kapazitäten früher a​uch Fuzzy-Maße, obwohl s​ie nichts m​it Unschärfe z​u tun haben.

Definition

Sei ${\displaystyle U}$ die Grundmenge, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$ deren Potenzmenge und ${\displaystyle \mu |{\mathcal {P}}(U)\to [0,\infty )}$ eine Mengenfunktion. Die Mengenfunktion ${\displaystyle \mu }$ heißt Kapazität, wenn gilt:

${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$

${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B),\quad {\text{wenn}}\quad A\subseteq B}$ (Monotonie)

Ein Maß ist eine spezielle Kapazität, denn aus der Additivität von ${\displaystyle \mu }$ (d. h. ${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B),\quad A\cap B=\emptyset }$) folgt die Monotonie. Falls ${\displaystyle \mu (U)=1}$ gilt, dann heißt die Kapazität normiert.

Weitere Eigenschaften

Eine Kapazität ${\displaystyle \mu }$ heißt superadditiv, wenn

${\displaystyle \mu (A\cup B)\geq \mu (A)+\mu (B),\quad A\cap B=\emptyset ,\quad A,B\in {\mathcal {P}}(U)}$,

sie heißt subadditiv bei umgekehrtem Ungleichheitszeichen. Durch superadditive Kapazitäten können Synergieeffekte und durch subadditive Kapazitäten Redundanzeffekte modelliert werden. Die zu ${\displaystyle \mu }$ duale (auch konjugierte) Kapazität ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ist definiert durch

${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)=1-\mu ({\overline {A}})}$.

Dabei ist ${\displaystyle {\overline {A}}}$ das Komplement zu ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(U)}$. Wenn ${\displaystyle \mu }$ superadditiv ist, dann ist ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ subadditiv und umgekehrt. Seien ${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{k}\in {\mathcal {P}}(U)}$ und ${\displaystyle k\geq 2}$. Eine Kapazität ${\displaystyle \mu }$ heißt k-monoton, wenn

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{k}A_{i})\geq \sum _{I\subseteq \{1,\dotsc ,k\},I\neq \emptyset }(-1)^{|I|+1}\mu (\bigcap _{i\in I}A_{i})}$,

sie heißt vollständig monoton, wenn sie k-monoton ist für jedes ${\displaystyle k\geq 2}$. Eine Kapazität ${\displaystyle \mu }$ heißt k-alternierend, wenn

${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{k}A_{i})\leq \sum _{I\subseteq \{1,\dotsc ,k\},I\neq \emptyset }(-1)^{|I|+1}\mu (\bigcup _{i\in I}A_{i})}$,

sie heißt vollständig alternierend, wenn sie k-alternierend ist für jedes ${\displaystyle k\geq 2}$. Eine k-monotone Kapazität ist superadditiv, eine k-alternierende Kapazität ist subadditiv. Eine Kapazität ${\displaystyle \mu }$ ist k-monoton (k-alternierend) genau dann, wenn die duale Kapazität ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ k-alternierend (k-monoton) ist.

Beispiele

Hit- und Miss-Wahrscheinlichkeiten bei zufälligen Mengen

Sei ${\displaystyle X}$ eine zufällige (kompakte) Menge und ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(U)}$ eine fixe kompakte Menge. Sei

${\displaystyle P^{*}(A)=P(X\cap A\neq \emptyset ),\quad P_{*}(A)=P(X\subset A)=P(X\cap {\overline {A}}=\emptyset )}$.

${\displaystyle P^{*}}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle X}$ die Menge ${\displaystyle A}$ „trifft“, und wird daher Hit-Wahrscheinlichkeit genannt. ${\displaystyle P_{*}}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle X}$ die Menge ${\displaystyle {\overline {A}}}$ „nicht trifft“, und heißt daher Miss-Wahrscheinlichkeit. Es ist ${\displaystyle P^{*}(A)>P_{*}(A)}$. ${\displaystyle P^{*}}$ ist eine normierte vollständig alternierende Kapazität, ${\displaystyle P_{*}}$ ist eine normierte vollständig monotone Kapazität.[3] Hit&Miss-Wahrscheinlichkeiten erzeugen auf eindeutige Weise die Verteilung der zufälligen Menge ${\displaystyle X}$.[4]

Belief und Plausibilität

Belief u​nd Plausibilität s​ind Grundbegriffe i​n Glenn Shafers Evidenztheorie.[5] Eine Belieffunktion i​st eine normierte vollständig monotone u​nd eine Plausibilität e​ine normierte vollständig alternierende Kapazität. Die z​ur Belieffunktion d​uale Kapazität i​st eine Plausibilität u​nd umgekehrt. Die für d​ie Possibilitätstheorie grundlegende possibility i​st eine spezielle Plausibilität, d​ie dazu d​uale necessity e​ine spezielle Belieffunktion.[6]

Untere und obere Wahrscheinlichkeiten

Dempsters untere u​nd obere Wahrscheinlichkeiten werden ähnlich konstruiert w​ie obige Hit&Miss-Wahrscheinlichkeiten.[7] Untere Wahrscheinlichkeiten s​ind daher normierte vollständig monotone u​nd obere Wahrscheinlichkeiten normierte vollständig alternierende Kapazitäten. Belieffunktionen s​ind spezielle untere u​nd Plausibilitäten spezielle o​bere Wahrscheinlichkeiten.

${\displaystyle \lambda }$-Fuzzy-Maße von Sugeno

Sie sind 1974 von Sugeno[2] eingeführt worden. Eine Kapazität ${\displaystyle \mu _{\lambda }}$ heißt ${\displaystyle \lambda }$-Fuzzy-Maß, wenn für ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(U)}$ mit ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ gilt:

${\displaystyle \mu _{\lambda }(A\cup B)=\min\{\mu _{\lambda }(A)+\mu _{\lambda }(B)+\lambda \mu _{\lambda }(A)\mu _{\lambda }(B),1\},\quad \lambda >-1}$

Für ${\displaystyle \lambda =0}$ ist ${\displaystyle \mu _{\lambda }}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, für ${\displaystyle \lambda >0}$ eine Belieffunktion und für ${\displaystyle -1<\lambda <0}$ eine Plausibilität. Der Parameter ${\displaystyle \lambda }$ misst gewissermaßen die Abweichung vom Wahrscheinlichkeitsmaß.

${\displaystyle \bot }$-dekomposable Maße

Sie sind 1984 von Siegfried Weber eingeführt worden[8]. Sei ${\displaystyle \bot }$ eine ${\displaystyle t}$-conorm. Eine Kapazität ${\displaystyle \mu }$ heißt ${\displaystyle \bot }$-dekomposabel, wenn gilt:

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\bot (\mu (A),\mu (B)),\quad A\cap B=\emptyset }$

Beispielsweise ist eine Possibilität ${\displaystyle \bot }$-dekomposabel bzgl. ${\displaystyle \bot =\max }$ und das ${\displaystyle \lambda }$-Fuzzy-Maß ist dekomposabel bzgl.

${\displaystyle \bot (u,v)=\min(u+v+\lambda uv,1);\quad \lambda >-1;\quad u,v\in [0,1]}$.

Literaturhinweis

• M. Grabisch: Set Functions, Games and Capacities in Decision Theory. Springer, 2016, ISBN 978-3-319-30688-9.

Einzelnachweise

1. G. Choquet: Theory of capacities. In: Ann.Inst.Fourier. Grenoble, 1953, S. 131–295. doi:10.5802/aif.53.
2. M. Sugeno: Theory of Fuzzy Integrals and its Application. PhD thesis, Tokyo Institute of Technology 1974.
3. G. Matheron: Random Sets and Integral Geometry. J. Wiley & Sons, New York 1975.
4. I. Molchanov: The Theory of Random Sets. Springer, New York 2005.
5. G. Shafer: A Mathematical Theory of Evidence. Princeton, University Press 1976.
6. D. Dubois, H. Prade: Possibility Theory: An Approach to Computerized Processing of Uncertainty. Plenum Press, New York 1988.
7. A. P. Dempster: Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. In: Annals of Mathematical Statistics. Band 38, 1967, S. 325–339. doi:10.1214/aoms/1177698950.
8. S. Weber: ${\displaystyle \bot }$-Decomposable Measures and Integrals for Archimedean ${\displaystyle t}$-conorms ${\displaystyle \bot }$. In: Journal of Mathematical Analysis and Application. Band 101, 1984, S. 114–138. (full text)