s-finites Maß

Als s-finite Maße o​der s-endliche Maße bezeichnet m​an eine gewisse Klasse v​on Maßen i​n der Maßtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Sie lassen s​ich als abzählbare Summe v​on endlichen Maßen darstellen u​nd erlauben s​omit die Verallgemeinerung gewisser Beweise. Die s-finiten Maße s​ind den σ-endlichen Maßen ähnlich, sollten a​ber nicht m​it ihnen verwechselt werden.

Definition

Gegeben sei ein Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. Dann heißt ein Maß ${\displaystyle \mu }$ auf diesem Messraum ein s-finites Maß, wenn es eine abzählbare Folge ${\displaystyle (\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von endlichen Maßen gibt, so dass

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{\infty }\nu _{i}}$

gilt.[1]

Beispiel

Das Lebesgue-Maß ${\displaystyle \lambda }$ ist ein s-finites Maß. Definiere dazu

${\displaystyle I_{n}:=[-n,n]}$

und

${\displaystyle B_{n}:=I_{n}\setminus I_{n-1}}$.

Bezeichnet nun ${\displaystyle \lambda |_{B}}$ die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf die Menge ${\displaystyle B}$, so sind die Maße

${\displaystyle \nu _{n}=\lambda |_{B_{n}}}$

alle endlich und summieren sich aufgrund ihrer Konstruktion zu ${\displaystyle \lambda }$.

Eigenschaften

Beziehung zur σ-Endlichkeit

Jedes σ-endliche Maß ist immer s-finit. Denn ist ${\displaystyle \nu }$ σ-endlich und sind ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$ messbare disjunkte Mengen mit ${\displaystyle \mu (B_{i})<\infty }$ für alle ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ wie in der Definition der σ-Endlichkeit gefordert, so sind ${\displaystyle \nu _{n}:=\mu |_{B_{n}}}$ endliche Maße, die sich wie im obigen Beispiel wieder zu ${\displaystyle \mu }$ aufsummieren. Umgekehrt ist nicht jedes s-finite Maß auch σ-endlich. Betrachtet man als Messraum die Menge ${\displaystyle X=\{a,b\}}$, versehen mit der Potenzmenge als σ-Algebra und definiert die Maße ${\displaystyle \nu _{n}}$ alle als das Zählmaß auf ${\displaystyle X}$, so ist

${\displaystyle \mu$ :=\sum _{i=1}^{\infty }\nu _{i}}

per Konstruktion s-finit. Aber ${\displaystyle \mu }$ ist nicht σ-endlich, denn es ist

${\displaystyle \mu (\{a\})=\sum _{i=1}^{\infty }\nu _{i}(\{a\})=\sum _{i=1}^{\infty }1=\infty }$,

der Fall für ${\displaystyle \{b\}}$ folgt analog.

Äquivalenz

Jedes s-finite Maß ${\displaystyle \mu }$ ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \nu }$. Das bedeutet, dass es ein Maß ${\displaystyle \nu }$ mit ${\displaystyle \nu (X)\leq 1}$ gibt, so dass ${\displaystyle \nu \sim \mu }$. Hier bedeutet ${\displaystyle \nu \sim \mu }$, dass ${\displaystyle \nu \ll \mu }$ und ${\displaystyle \nu \gg \mu }$, sprich es ist ${\displaystyle \nu }$ absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \mu }$ absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \nu }$. Denn sind ${\displaystyle (\nu _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ endliche Maße wie in der Definition der s-Finitheit gefordert, so ist ein mögliches ${\displaystyle \nu }$ gegeben durch

${\displaystyle \nu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {\nu _{i}(A)}{\nu _{i}(X)}}}$.

für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.

Literatur

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.

Einzelnachweise

1. Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, S. 21, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.