Indexsatz von Hodge

Der Indexsatz v​on Hodge i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er algebraischen Geometrie. Er berechnet d​ie Signatur algebraischer Flächen.

Er besagt: Sei ${\displaystyle H}$ ein ampler Divisor auf einer algebraischen Fläche ${\displaystyle X}$. Dann ist die Schnittform negativ definit auf ${\displaystyle H^{\perp }}$.

Dies gilt insbesondere, wenn ${\displaystyle H}$ der Divisor des Hyperebenenschnittes einer Einbettung ${\displaystyle X\to \mathbb {C} P^{n}}$ ist. In diesem Fall ist ${\displaystyle H\cdot H=\deg(X)>0}$, womit sich der Trägheitsindex der Schnittform als ${\displaystyle (1,d-1)}$ ergibt, wobei ${\displaystyle d}$ die Dimension des Vektorraums rationaler Divisoren modulo algebraischer Äquivalenz (äquivalent der Rang der Néron-Severi-Gruppe) ist.

Der Satz w​urde von Hodge a​ls Anwendung d​er topologischen Methoden Lefschetzs i​n der komplexen algebraischen Geometrie bewiesen. In Lehrbüchern w​ird er h​eute meist a​ls Konsequenz d​es Satzes v​on Riemann-Roch o​der auch a​us den Kähler-Identitäten hergeleitet. Er g​ilt allgemeiner über beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körpern.

Literatur

• Hartshorne: „Algebraic Geometry“, Berlin, New York: Springer-Verlag 1977, ISBN 978-0-387-90244-9
• Voisin: „Hodge Theory and complex algebraic geometry“, Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-80260-1

Weblinks

• Akhil Mathew: The Riemann-Roch and Hodge Index Theorems on surfaces