Higgs-Bündel

In d​er Mathematik s​ind Higgs-Bündel e​in Hilfsmittel i​n der Darstellungstheorie v​on Flächengruppen u​nd Fundamentalgruppen komplexer Mannigfaltigkeiten. Sie wurden v​on Nigel Hitchin eingeführt u​nd wegen d​er Analogie z​u Higgs-Bosonen n​ach Peter Higgs benannt.

Definition

Ein Higgs-Bündel ist ein Paar ${\displaystyle (V,\phi )}$ bestehend aus einem holomorphen Vektorbündel ${\displaystyle V}$ über einer Riemannschen Fläche ${\displaystyle \Sigma }$ und einem Higgs-Feld, d. h. einer ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$-wertigen holomorphen 1-Form ${\displaystyle \phi }$.

Stabilität, Polystabilität

Ein Higgs-Bündel ${\displaystyle (V,\phi )}$ heißt stabil, wenn für alle ${\displaystyle \phi }$-invarianten holomorphen Unterbündel ${\displaystyle W\subset V}$ die Ungleichung

${\displaystyle {\frac {\deg(W)}{\operatorname {rank} (W)}}<{\frac {\deg(V)}{\operatorname {rank} (V)}}}$

gilt. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {deg} }$ den Grad eines Vektorbündels und ${\displaystyle \operatorname {rank} }$ seinen Rang, also die Dimension seiner Fasern. (Man beachte, dass die Ungleichung nur für ${\displaystyle \phi }$-invariante Unterbündel gelten soll, ein stabiles Higgs-Bündel also nicht notwendig ein stabiles Vektorbündel sein muss.)

Ein Higgs-Bündel ${\displaystyle (V,\phi )}$ heißt polystabil, wenn es eine direkte Summe

${\displaystyle (V,\phi )=\bigoplus _{i=1}^{l}(V_{i},\phi _{i})}$

stabiler Higgs-Bündel mit

${\displaystyle {\frac {\deg(V_{i})}{\operatorname {rank} (V_{i})}}={\frac {\deg(V)}{\operatorname {rank} (V)}}}$

für ${\displaystyle i=1,\ldots ,l}$ ist.

Darstellungstheorie

Aufbauend auf Resultaten von Corlette und Donaldson bewiesen Hitchin und Simpson die folgenden Äquivalenzen für Riemannsche Flächen ${\displaystyle \Sigma }$:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Stabile}}\ {\mbox{Higgs-Bündel}}\\(V,\Phi )\ {\mbox{über}}\ \Sigma \end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Irreduzible}}\ {\mbox{Darstellungen}}\\\rho \colon \pi _{1}\Sigma \to GL(n,\mathbb {C} )\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Polystabile}}\ {\mbox{Higgs-Bündel}}\\(V,\Phi )\ {\mbox{über}}\ \Sigma \end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Reduktive}}\ {\mbox{Darstellungen}}\\\rho \colon \pi _{1}\Sigma \to GL(n,\mathbb {C} )\end{array}}\right\}}$

Höherdimensionale Verallgemeinerung

Über höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle X}$ definiert man ein Higgs-Bündel als ein Paar ${\displaystyle (V,\phi )}$ aus einem holomorphen Vektorbündel ${\displaystyle V}$ über ${\displaystyle X}$ und einer ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$-wertigen holomorphen 1-Form ${\displaystyle \phi }$, die die Gleichung ${\displaystyle \phi \wedge \phi =0}$ erfüllt.

(Im Falle Riemannscher Flächen i​st diese Gleichung trivialerweise erfüllt.)

Literatur

• Corlette, Kevin: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differential Geom. 28 (1988), no. 3, 361–382.
• Donaldson, Simon: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 127–131.
• Hitchin, Nigel: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 59–126.
• Simpson, Carlos: Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), no. 4, 867–918.

Weblinks

• Joseph Le Potier: Fibrés de Higgs et systèmes locaux (Séminaire Bourbaki)
• Steven B. Bradlow, Oscar García-Prada, Peter B. Gothen: WHAT IS ... a Higgs bundle? (Notices of the AMS)
• Richard A. Wentworth: Higgs bundles and local systems
• Peter B. Gothen: Surface group representations and Higgs bundles
• William M. Goldman: Higgs bundles and geometric structures on surfaces
• Jan Swoboda: Higgsbündel und Darstellungsvarietäten (Jahrbuch der Max-Planck-Gesellschaft)
• Oliver Guichard: An introduction to the differential geometry of flat bundles and of Higgs bundles
• Laura Schaposnik: Higgs bundles - recent applications