Harnacksches Prinzip

Das Harnacksche Prinzip, a​uch als Satz v​on Harnack zitiert, i​st ein grundlegender Satz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Funktionentheorie, welcher a​uf den Mathematiker Axel Harnack (1851–1888) zurückgeht, d​er diesen Satz i​n einer Arbeit d​es Jahres 1886 vorgetragen hat. Das Harnacksche Prinzip behandelt d​as Konvergenzverhalten monoton wachsender Folgen harmonischer Funktionen. Es beruht a​uf der ebenfalls v​on Axel Harnack gefundenen u​nd nach i​hm benannten Ungleichung.[1][2][3][4]

Formulierung des Prinzips im klassischen komplexen Fall

Gegeben sei eine offene Menge ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ und dazu eine Folge ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ harmonischer Funktionen ${\displaystyle {u_{n}}\colon \,D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} )}$, welche punktweise monoton anwachse:

${\displaystyle u_{1}(z)\leq u_{2}(z)\leq \ldots }$ ${\displaystyle (z\in D)}$.

Sei für ${\displaystyle z\in D}$

${\displaystyle u(z)=\sup _{n\in \mathbb {N} }{u_{n}(z)}=\lim _{n\to \infty }{u_{n}(z)}}$

Seien weiter

${\displaystyle D_{0}=\{z\in D:\,u(z)<\infty \}}$

und

${\displaystyle D_{1}=\{z\in D:\,u(z)=\infty \}}$

Dann gilt:

(1) Sowohl ${\displaystyle D_{0}}$ als auch ${\displaystyle D_{1}}$ sind zugleich offen und abgeschlossen in ${\displaystyle D}$.

(2) Für den Fall, dass ${\displaystyle D}$ ein Gebiet von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist, gilt entweder stets ${\displaystyle u(z)=\infty }$ für ${\displaystyle z\in D}$ oder stets ${\displaystyle u(z)<\infty }$ für ${\displaystyle z\in D}$.

(3) Ist ${\displaystyle D}$ ein Gebiet von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und gilt ${\displaystyle u(z_{0})<\infty }$ für ein ${\displaystyle z_{0}\in D}$ , so ist die Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergent und die Grenzfunktion ${\displaystyle u}$ ist ebenfalls eine harmonische Funktion.

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Wie schon Axel Harnack selbst andeutet,[5] gilt das entsprechende Prinzip mit ganz ähnlicher Formulierung auch für den Fall der harmonischen Funktionen auf offenen Mengen des ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ . Hier beruht der Beweis auf der n-dimensionalen Version der Harnackschen Ungleichung.[6][7]

Literatur

Originalarbeit

• Axel Harnack: Existenzbeweise zur Theorie des Potentiales in der Ebene und im Raume. In: Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften. 1886, S. 144–169.
• Axel Harnack: Existenzbeweise zur Theorie des Potentiales in der Ebene und im Raume. In: Mathematische Annalen. Band 35, 1890, S. 19–40.

Monographien

• Lars Valerian Ahlfors: Complex Analysis. An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York [u. a.] 1979, ISBN 0-07-000657-1.
• Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey: Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1992, ISBN 3-540-97875-5.
• Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2009, ISBN 978-3-540-87899-5.
• W. K. Hayman, P. B. Kennedy: Subharmonic functions (= L. M. S. Monographs. Band 9). Volume I. Academic Press, London [u. a.] 1976.
• Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: Einführung in die Funktionentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 30). Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1965.
• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6.

Einzelnachweise

1. Harnack: Ber. Verhandl. Kön. Sächs. Gesell. Wiss. Leipzig. 1886, S. 144 ff.
2. Freitag: S. 59 ff.
3. Nevanlinna / Paatero: S. 234 ff.
4. Rudin: S. 283 ff.
5. Vgl. Schlussbemerkung in seiner Abhandlung in den Math. Ann., Band 35, S. 40.
6. Hayman / Kennedy: S. 35 ff.
7. Axler/ Bourdon / Ramey: S. 47 ff.