Haagsches Theorem

Rudolf Haag formulierte ein Theorem, das heute allgemein als haagsches Theorem bekannt ist. Es besagt, dass das Wechselwirkungsbild einer relativistischen Quantenfeldtheorie (QFT) inkonsistent ist, d. h., nicht existiert.[1] Haags Beweis von 1955 wurde anschließend mehrfach verallgemeinert, u. a. von Hall und Arthur Wightman, die zu dem Ergebnis gelangten, dass eine eindeutige, universelle Hilbertraum-Darstellung, die sowohl das freie als auch das wechselwirkende Feld beschreibt, nicht existiert.[2] Reed und Simon zeigten 1975, dass ein analoges Theorem auch für neutrale, wechselwirkungsfreie Skalarfelder unterschiedlicher Massen existiert, woraus folgt, dass das Wechselwirkungsbild nicht einmal im Grenzfall einer vernachlässigbaren Wechselwirkung konsistent ist.[3]

Mathematische Formulierung des haagschen Theorems

In einer modernen Variante lässt sich das haagsche Theorem wie folgt formulieren: [4]

Gegeben seien zwei Darstellungen der kanonischen Vertauschungsrelation (KVR), ${\displaystyle (H_{1},\{O_{1}^{i}\})}$, sowie ${\displaystyle (H_{2},\{O_{2}^{i}\})}$ (wobei ${\displaystyle H_{n}}$ für den jeweils gültigen Hilbertraum und ${\displaystyle \{O_{n}^{i}\}}$ für die jeweils vollständigen Sätze der Operatoren in den KVR stehen). Beide Darstellungen heißen genau dann unitär äquivalent, wenn es eine unitäre Abbildung ${\displaystyle U}$ zwischen Hilbertraum ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$ gibt, bei der zu jedem Operator ${\displaystyle O_{1}^{j}\in \{O_{1}^{i}\}}$ ein Operator ${\displaystyle O_{2}^{j}=UO_{1}^{j}U^{-1}\in \{O_{2}^{i}\}}$ existiert. Die Eigenschaft der unitären Äquivalenz ist eine notwendige Bedingung dafür, dass die Erwartungswerte der Observablen, d. h. die Vorhersagen physikalischer Messungen, in beiden Darstellungen identisch ausfallen. Das haagsche Theorem besagt, dass – anders als im Falle der herkömmlichen, nicht-relativistischen Quantenmechanik – eine solche unitäre Äquivalenz im Rahmen der QFT nicht vorliegt. Der Anwender der QFT ist daher mit dem sogenannten Auswahlproblem (engl.: choice-problem) konfrontiert, d. h. mit dem Problem, aus einer nicht-abzählbaren Menge nicht-äquivalenter Darstellungen die richtige (also: physikalisch sinnvolle) Darstellung zu finden. Bis heute gehört das Auswahlproblem zu den ungelösten Problemen in der QFT.

Physikalische (anschauliche) Betrachtungsweise

Wie bereits von Haag in seiner Originalarbeit erwähnt, bildet das Phänomen der Vakuumpolarisation das Kernproblem, auf dem das haagsche Theorem aufbaut. Jedes wechselwirkende Quantenfeld (dazu gehören auch die nicht-wechselwirkenden Felder unterschiedlicher Massen) polarisiert das Vakuum derart, dass es in einem renormierten Hilbertraum ${\displaystyle H_{\mathrm {R} }}$ liegt, der sich von dem freien Hilbertraum ${\displaystyle H_{\mathrm {F} }}$ unterscheidet. Selbstverständlich ist es immer möglich, eine isomorphe Abbildung zu definieren, die zwischen den Zuständen in beiden Hilberträumen vermittelt. Jedoch besagt das haagsche Theorem, dass im Rahmen einer solchen Abbildung die KVR nicht die Eigenschaft der unitären Äquivalenz besitzen, physikalische Messergebnisse folglich nicht eindeutig ausfallen.

Fälle, die nicht vom haagschen Theorem betroffen sind

Zu d​en Grundannahmen, d​ie zum haagschen Theorem führen, gehört d​ie Translationsinvarianz d​es Systems. Solche Systeme, d​ie sich a​uf einem Gitter m​it periodischen Randbedingungen ('Box-QFT') formulieren lassen, s​owie Systeme, d​ie aufgrund externer Potentiale lokalisiert werden können, s​ind von d​em haagschen Theorem n​icht betroffen.[5] Haag[6] u​nd David Ruelle[7] h​aben einen Formalismus d​er Streutheorie vorgestellt, d​er auf asymptotisch freien Zuständen basiert, a​ls Haag-Ruelle-Streutheorie bekannt i​st und a​ls Grundlage für d​ie weit verbreitete LSZ-Reduktionsformel dient.[8] Letztere Methoden s​ind allerdings n​icht anwendbar a​uf massenlose Teilchen u​nd liefern a​uch im Falle gebundener Zustände n​och keine zufriedenstellenden Lösungen.

Mangelnde Akzeptanz unter den Anwendern der QFT

Obwohl d​as haagsche Theorem d​ie mathematische Konsistenz d​er wechselwirkenden QFT infrage stellt, w​ird es v​on Physikern, d​ie die QFT praktizieren, weitgehend ignoriert.[9] Diese a​uf den ersten Blick überraschende Tatsache hängt m​it den beeindruckenden Erfolgen d​er QFT b​ei der Vorhersage u​nd Verifizierung experimenteller Messwerte zusammen, d​ie eine grundsätzliche Neuformulierung d​es Wechselwirkungsbildes überflüssig erscheinen lassen. Dennoch i​st aufgrund d​er unsicheren axiomatischen Basis unklar, w​arum beziehungsweise u​nter welchen Bedingungen d​ie QFT m​it Wechselwirkung z​u einer akkuraten physikalischen Beschreibung d​er Realität führt.

Zum Weiterlesen

• Doreen Fraser: Haag’s Theorem and the Interpretation of Quantum Field Theories with Interactions, Ph.D. thesis, U. of Pittsburgh, 2006.
• A. Arageorgis: Fields, Particles, and Curvature: Foundations and Philosophical Aspects of Quantum Field Theory in Curved Spacetime, Ph.D. thesis, Univ. of Pittsburgh, 1995.
• J. Bain: Against Particle/field duality: Asymptotic particle states and interpolating fields in interacting QFT (or: Who's afraid of Haag's theorem?). In: Erkenntnis. 53, 2000, S. 375–406.

Einzelnachweise

1. R. Haag: On quantum field theories (PDF; 2,9 MB) In: Matematisk-fysiske Meddelelser. 29, 12, 1955.
2. D. Hall, A. S. Wightman: A theorem on invariant analytic functions with applications to relativistic quantum field theory. In: Matematisk-fysiske Meddelelser. Band 31, Nr. 1, 1957.
3. M. Reed, B. Simon: Methods of modern mathematical physics. Vol. II: Fourier analysis, self-adjointness. Academic Press, New York 1975.
4. John Earman, Doreen Fraser: Haag's Theorem and Its Implications for the Foundations of Quantum Field Theory. In: Erkenntnis. 64, 305, 2006 (online at philsci-archive).
5. Reed, Simon, Scattering theory, Academic Press 1979
6. R. Haag: Quantum field theories with composite particles and asymptotic conditions. In: Phys. Rev.. 112, Nr. 2, 1958, S. 669–673. bibcode:1958PhRv..112..669H. doi:10.1103/PhysRev.112.669.
7. D. Ruelle: On the asymptotic condition in quantum field theory. In: Helvetica Physica Acta. 35, 1962, S. 147–163.
8. Klaus Fredenhagen, Quantum field theory, Lecture Notes, Universität Hamburg 2009
9. Paul Teller: An interpretive introduction to quantum field theory. Princeton University Press, 1997.