Graßmann-Plücker-Relation

Die Graßmann-Plücker-Relationen beschreiben Beziehungen zwischen Determinanten m​it teilweise übereinstimmenden Spalten.

Definitionen und Sätze

Allgemeine Form

Eine allgemeine Graßmann-Plücker-Relation h​at die Form

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r+1}(-1)^{i}\cdot \det(A_{1},\dots ,A_{r-1},B_{i})\cdot \det(B_{1},\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=0}$

wobei ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{r-1},B_{1},\dots ,B_{r+1}}$ Vektoren in einem r-dimensionalen Vektorraum sind, die die Spalten der Matrizen bilden, deren Determinanten berechnet werden.[1]

Die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums wird häufig als Rang bezeichnet (und daher hier als r abgekürzt). In Fällen, in denen die Spalten homogene Koordinaten von Punkten darstellen, liegen diese Punkte in einem projektiven Raum eine Dimension niedriger.

Konkrete Form für niedrige Dimensionen

In Rang 2 h​at die Formel 3 Summanden u​nd verwendet 4 Vektoren A b​is D:

${\displaystyle \det(A,B)\cdot \det(C,D)-\det(A,C)\cdot \det(B,D)+\det(A,D)\cdot \det(B,C)=0}$

In Rang 3 h​at die Formel 4 Summanden u​nd verwendet 6 Vektoren A b​is F:

${\displaystyle \det(A,B,C)\cdot \det(D,E,F)-\det(A,B,D)\cdot \det(C,E,F)+\det(A,B,E)\cdot \det(C,D,F)-\det(A,B,F)\cdot \det(C,D,E)=0}$

Kurzer, konzeptioneller Beweis

Wir fixieren ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{r-1}}$ und betrachten die Abbildung

${\displaystyle (B_{1},\dots ,B_{r+1})\mapsto {\text{ die linke Seite der Graßmann-Plücker-Relation}}}$

Diese Abbildung ist offenbar multilinear (d. h. linear in jedem ${\displaystyle B_{i}}$ separat). Außerdem wird die rechte Seite Null, wenn es ${\displaystyle j\neq k}$ gibt mit ${\displaystyle B_{j}=B_{k}}$, denn dann sind nur die Summanden mit ${\displaystyle i=j}$ und ${\displaystyle i=k}$ möglicherweise ungleich null, und sie heben einander weg. Das heißt, dass die Abbildung alternierend ist. Ein grundlegender Satz der linearen Algebra besagt, dass eine alternierende multilineare Abbildung von r+1 Vektoren auf einem r-dimensionalen Vektorraum identisch Null sein muss. Das ist gerade die Graßmann-Plücker-Relation.

Langer Beweis

Falls alle vorkommenden Summanden 0 sind, ist die Gleichung trivialer Weise erfüllt. Nehmen wir also an, dass einer der Summanden von 0 verschieden ist. O.B.d.A. sei dies der erste Summand, da wir die Vektoren der beiden Mengen A und B beliebig umsortieren können. Der erste Summand besteht also aus zwei Matrizen, deren Determinanten von 0 verschieden sind.

Bezeichnen w​ir die Matrix i​n der ersten Determinante m​it M u​nd die zweite m​it N.

${\displaystyle M=(A_{1},\dots ,A_{r-1},B_{1})\quad N=(B_{2},\dots ,B_{r+1})}$

Multipliziert man alle vorkommenden Matrizen mit der inversen Matrix ${\displaystyle M^{-1}}$, so wird jede Determinante mit dem Faktor ${\displaystyle \det(M^{-1})\neq 0}$ multipliziert, die gesamte Gleichung also mit dem Quadrat davon. Diesen Faktor kann man ausklammern und aus der Gleichung ziehen. Da ${\displaystyle M^{-1}M}$ die Einheitsmatrix ist, kann man also o. B. d. A. annehmen, dass die erste Matrix die Einheitsmatrix ist.

In diesem Fall gilt ${\displaystyle A_{i}=e_{i}}$ (für ${\displaystyle i=1,\dots ,(r-1)}$) und ${\displaystyle B_{1}=e_{r}}$.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r+1}(-1)^{i}\cdot \det(e_{1},\dots ,e_{r-1},B_{i})\cdot \det(B_{1},\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=}$

${\displaystyle \det(E_{r})\cdot \det(B_{2},\dots ,B_{r+1})+\sum _{i=2}^{r+1}(-1)^{i}\cdot \det(e_{1},\dots ,e_{r-1},B_{i})\cdot \det(e_{r},\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=}$

${\displaystyle \det(N)+\sum _{i=2}^{r+1}(-1)^{i}\cdot n_{r,(i-1)}\cdot \det(N_{r,(i-1)})=}$

${\displaystyle \det(N)-\det(N)=0}$

Dabei wird die Summe als Entwicklung der Determinante nach der letzten Zeile aufgefasst. Der Eintrag ${\displaystyle n_{r,(i-1)}}$, der in der Matrix ${\displaystyle N}$ in der letzten Zeile ${\displaystyle r}$ und in der Spalte ${\displaystyle i}$ steht, entspricht dabei der letzten Komponente des Vektors ${\displaystyle B_{i}}$, da ${\displaystyle N}$ mit ${\displaystyle B_{2}}$ anfängt. Die Matrix ${\displaystyle N_{r,(i-1)}}$ ist die Untermatrix, wenn man den Vektor ${\displaystyle B_{i}}$ und die letzte Zeile entfernt. Diese Untermatrizen ergeben sich durch Entwicklung der zweiten Determinante nach der ersten Spalte.[2]

Anwendungen

• Die Graßmann-Plücker-Relationen gehören zu den Syzygien. Sie können verwendet werden, um Beweise (etwa von geometrischen Schließungssätzen) zu formulieren.
• Orientierte Matroide können dadurch charakterisiert werden, dass sie in keinem offensichtlichen Widerspruch zu den Graßmann-Plücker-Relationen stehen.
• Graßmann-Plücker-Koordinaten, die zur Beschreibung geometrischer Objekte in höherdimensionalen projektiven Räumen verwendet werden, müssen diese Relationen erfüllen, um konsistent zu sein.

Siehe auch

• Syzygie

Literatur

• Hermann Graßmann: Die lineale Ausdehnungslehre. 1. Auflage. 1844 (PDF, 11MB).
• Jürgen Richter-Gebert und Thorsten Orendt: Geometriekalküle. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-02529-7.

Einzelnachweise

1. Geometriekalküle, S. 141 ff.
2. Geometriekalküle, S. 142 f.