Golomb-Lineal

Ein Golomb-Lineal oder Golomb-Maßstab (häufig auch Golomb Ruler nach dem englischen Fachbegriff) ist in der Zahlentheorie ein Lineal, bei dem es keine zwei Markierungen an ganzzahligen Positionen mit dem gleichen Abstand zueinander gibt.

Golomb-Lineal der Ordnung 4 und Länge 6, das sowohl optimal als auch perfekt ist.
Demonstration, wie ein Konferenzraum mit den Proportionen des Golomb-Lineals [0, 2, 7, 8, 11] in 10 verschiedenen Größen konfiguriert werden kann.[1]

Golomb-Lineale haben ihren Namen von Solomon W. Golomb, einem US-amerikanischen Professor für Mathematik und Elektrotechnik an der Universität von Südkalifornien.

Golomb-Lineale werden anhand ihrer Ordnung und ihrer Länge kategorisiert. Die Ordnung eines Golomb-Lineals ist dabei definiert durch die Anzahl der Markierungen, die Länge durch den größten Abstand zweier Markierungen. Da Parallelverschiebung und Spiegelung bei Golomb-Linealen als triviale Operationen angesehen werden, wird die kleinste Markierung üblicherweise auf 0 gesetzt und die nachfolgende Markierung an der kleineren der beiden möglichen Positionen.

Es ist nicht erforderlich, dass ein Golomb-Lineal alle Abstände bis zu seiner Länge messen kann, dass also alle Abstände zwischen allen Markierungen – aufsteigend geordnet – eine lückenlose Zahlenreihe (1,2,3,4,5,…) ergeben. Wenn das jedoch der Fall ist, wird es ein perfektes Golomb-Lineal genannt. Ein Golomb-Lineal ist optimal, wenn es keine kürzeren Lineale derselben Ordnung gibt. Optimale Golomb-Lineale für eine gegebene Ordnung zu finden ist, im Gegensatz zum Erstellen von Linealen mit Golomb-Eigenschaft, eine rechenintensive Aufgabe. Mittels verteilten Rechnens wurden bislang optimale Golomb-Lineale bis zur Ordnung 27 durch das distributed.net-Projekt bestätigt. Das Nachfolgeprojekt für Ordnung 27 bestätigte nach einer Gesamtdauer von fast fünf Jahren das bis dahin kürzeste bekannte Lineal.[2] Die Suche nach einem optimalen Lineal der Ordnung 28 wurde im Februar 2014 begonnen, es wird eine ähnliche Bearbeitungszeit wie für das Vorgängerprojekt erwartet.[3]

Anwendung

Golomb-Lineale finden Anwendung beim Entwurf von Gruppenantennen wie beispielsweise Radioteleskopen. Antennen in [0,1,4,6] Golomb-Anordnung findet man häufig bei Mobilfunkmasten. Auch die Anordnung von Feldsensoren in Kernspintomographie nutzt Eigenschaften von Golomb-Maßstäben.

Bei beiden Anwendungen ist das Ziel, mit einer Minimalzahl an Elementen (Antennen, Sensoren) eine Maximalzahl an unterschiedlichen Abständen und im Dreidimensionalen eine Maximalzahl an verschiedenen Abstrahl- und Empfangswinkeln zu erreichen. Sind die verwendeten Golomb-Lineale optimal, wird auch noch die Ausdehnung des Messsystems bzw. der Gruppenantenne minimiert, was die Handhabbarkeit verbessert oder einen Einsatz überhaupt erst ermöglicht.

Bekannte optimale Golomb-Lineale

Die Tabelle zeigt die Werte für alle derzeit bekannten optimalen Golomb-Lineale bis zur Ordnung 27, wobei äquivalente Lineale (das heißt in umgekehrter Reihenfolge zu einem der angegebenen) nicht enthalten sind. Die ersten Vier stellen dabei perfekte Golomb-Lineale dar.

OrdnungLängeMarkierungen
100
210 1
330 1 3
460 1 4 6
5110 1 4 9 11
0 2 7 8 11
6170 1 4 10 12 17
0 1 4 10 15 17
0 1 8 11 13 17
0 1 8 12 14 17
7250 1 4 10 18 23 25
0 1 7 11 20 23 25
0 1 11 16 19 23 25
0 2 3 10 16 21 25
0 2 7 13 21 22 25
8340 1 4 9 15 22 32 34
9440 1 5 12 25 27 35 41 44
10550 1 6 10 23 26 34 41 53 55
11720 1 4 13 28 33 47 54 64 70 72
0 1 9 19 24 31 52 56 58 69 72
12850 2 6 24 29 40 43 55 68 75 76 85
131060 2 5 25 37 43 59 70 85 89 98 99 106
141270 4 6 20 35 52 59 77 78 86 89 99 122 127
151510 4 20 30 57 59 62 76 100 111 123 136 144 145 151
161770 1 4 11 26 32 56 68 76 115 117 134 150 163 168 177
171990 5 7 17 52 56 67 80 81 100 122 138 159 165 168 191 199
182160 2 10 22 53 56 82 83 89 98 130 148 153 167 188 192 205 216
192460 1 6 25 32 72 100 108 120 130 153 169 187 190 204 231 233 242 246
202830 1 8 11 68 77 94 116 121 156 158 179 194 208 212 228 240 253 259 283
213330 2 24 56 77 82 83 95 129 144 179 186 195 255 265 285 293 296 310 329 333
223560 1 9 14 43 70 106 122 124 128 159 179 204 223 253 263 270 291 330 341 353 356
233720 3 7 17 61 66 91 99 114 159 171 199 200 226 235 246 277 316 329 348 350 366 372
244250 9 33 37 38 97 122 129 140 142 152 191 205 208 252 278 286 326 332 353 368 384 403 425
254800 12 29 39 72 91 146 157 160 161 166 191 207 214 258 290 316 354 372 394 396 431 459 467 480
264920 1 33 83 104 110 124 163 185 200 203 249 251 258 314 318 343 356 386 430 440 456 464 475 487 492
275530 3 15 41 66 95 97 106 142 152 220 221 225 242 295 330 338 354 382 388 402 415 486 504 523 546 553

Einzelnachweise
  1. Paul Erdős, Paul Turan: On a problem of Sidon in additive number theory, and on some related problems. In: J. London Math. Soc. 16:212--215, 1941.
  2. http://blogs.distributed.net/2014/02/25/16/09/mikereed/
  3. http://blogs.distributed.net/2014/02/18/23/23/mikereed/
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