Genarbte Mannigfaltigkeit

Genarbte Mannigfaltigkeiten (engl.: "sutured manifolds") s​ind ein Begriff a​us dem mathematischen Gebiet d​er 3-dimensionalen Topologie, d​er insbesondere b​ei der Konstruktion straffer Blätterungen u​nd bei d​er Berechnung d​es Knotengeschlechts Verwendung findet.

Definition

Eine genarbte Mannigfaltigkeit i​st eine kompakte orientierte 3-Mannigfaltigkeit m​it einer Zerlegung d​es Randes

${\displaystyle \partial M=\partial _{\tau }M\cup \partial _{\pitchfork }M}$,

wobei

• ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }M=A\cup T}$ aus Vereinigungen von Kreiszylindern ${\displaystyle A}$ und Tori ${\displaystyle T}$ besteht und
• das Innere jedes Kreiszylinders in ${\displaystyle A}$ eine homologisch nichttriviale Kurve (die "Narbe") enthält, und
• alle Komponenten von ${\displaystyle \partial _{\tau }M}$ orientiert sind.

Man bezeichnet mit ${\displaystyle R_{+}}$ bzw. ${\displaystyle R_{-}}$ die Vereinigungen der Komponenten von ${\displaystyle \partial _{\tau }M}$, deren Orientierungen mit denen von ${\displaystyle \partial M}$ übereinstimmen bzw. nicht übereinstimmen.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt straff, wenn ${\displaystyle M}$ irreduzibel ist und jede Komponente von ${\displaystyle \partial _{\tau }M}$ die Thurston-Norm in ihrer Homologieklasse minimiert.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt ein genarbtes Produkt, wenn sie von der Form ${\displaystyle M=S\times \left[0,1\right]}$ mit ${\displaystyle A=\partial S\times \left[0,1\right]}$ für eine Fläche ${\displaystyle S}$ ist.

Zerlegung genarbter Mannigfaltigkeiten

Sei ${\displaystyle M}$ eine genarbte Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle S\subset M}$ eine eigentlich eingebettete Fläche, deren Schnitt mit jeder Komponente von ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }M}$ entweder ein eigentlich eingebettetes Intervall oder eine zu einer Narbe homologe einfache geschlossene Kurve oder eine homologisch nichttriviale geschlossene Kurve in einer Torus-Komponente ist, wobei nicht mehr als eine zueinander homologe Kurven als Schnitte mit einer Toruskomponente vorkommen dürfen. Dann ist

${\displaystyle M^{\prime }:=M\setminus N(S)}$

(das Komplement einer Tubenumgebung von ${\displaystyle S}$) ebenfalls eine genarbte Mannigfaltigkeit mit

${\displaystyle \partial _{\pitchfork }M^{\prime }:=(\partial _{\pitchfork }M\cap M^{\prime })\cup N(S_{+}\cap R_{-})\cup N(S_{-}\cap R_{+})}$

${\displaystyle R_{+}^{\prime }:=((R_{+}\cap M^{\prime })\cup S_{+})\setminus int(\partial _{\pitchfork }M^{\prime })}$

${\displaystyle R_{-}^{\prime }:=((R_{+}\cap M^{\prime })\cup S_{-})\setminus int(\partial _{\pitchfork }M^{\prime })}$,

wobei ${\displaystyle S_{+},S_{-}}$ die beiden Kopien von ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle \partial M^{\prime }=\partial (M\setminus N(S))}$ sind.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt zerlegbar, w​enn es e​ine Folge

${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}}$

gibt mit ${\displaystyle M_{1}=M}$, so dass ${\displaystyle M_{n}}$ ein Produkt und jedes ${\displaystyle M_{i+1}}$ eine Zerlegung von ${\displaystyle M_{i}}$ ist. Die Folge ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}}$ heißt genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie (engl.: sutured manifold hierarchy).

Gabai beweist d​ie Existenz genarbter Mannigfaltigkeitshierarchien u​nter folgenden Voraussetzungen.

Satz:[1] Es sei ${\displaystyle M}$ eine straffe genarbte Mannigfaltigkeit, die keine atoroidale rationale Homologiesphäre ist. Dann hat ${\displaystyle M}$ eine genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie.

Wenn ${\displaystyle M\setminus N(S)}$ straff ist, dann ist auch ${\displaystyle M}$ straff mit Ausnahme von ${\displaystyle M=D^{2}\times S^{1}}$.[2]

Das erlaubt e​s häufig, Induktionsbeweise über d​ie Längen genarbter Hierarchien z​u führen.

Scheibenzerlegung

Eine Scheibenzerlegung (engl. disk decomposition) i​st eine genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie, b​ei der d​ie zerlegenden Flächen i​n jedem Schritt Kreisscheiben sind.

Scheibenzerlegungen können zur Bestimmung des minimalen Geschlechts der Seifertfläche ${\displaystyle \Sigma }$ eines Knotens ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ verwandt werden. Wenn ${\displaystyle S^{3}\setminus N(\Sigma )}$ mit Narbe ${\displaystyle \partial _{\Sigma }\cap N(K)}$ eine Scheibenzerlegung besitzt, dann ist ${\displaystyle \Sigma }$ eine Seifertfläche minimalen Geschlechts.

Analog können Scheibenzerlegungen zur Berechnung der Thurston-Norm in beliebigen 3-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ verwandt werden. Wenn ${\displaystyle \sigma \subset M}$ eine eigentlich eingebettete Fläche ist und ${\displaystyle M\setminus N(\Sigma )}$ eine Scheibenzerlegung besitzt, dann minimiert ${\displaystyle \Sigma }$ das Geschlecht in ihrer Homologieklasse, berechnet also die Thurston-Norm.

Invarianten

Zu d​en Invarianten genarbter Mannigfaltigkeiten gehören genarbte Floer-Homologie.[3], genarbte Khovanov-Homologie[4] u​nd genarbte Topologische Quantenfeldtheorie[5]

Literatur

• David Gabai: Foliations and the topology of 3-manifolds. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 3, 445–503. pdf
• Martin Scharlemann: Sutured manifolds and generalized Thurston norms. J. Differential Geom. 29 (1989), no. 3, 557–614. pdf
• Danny Calegari: Foliations and the geometry of 3-manifolds. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2007, ISBN 978-0-19-857008-0 (Kapitel 5)

Weblinks

• Sutured Manifold (MathWorld)

Einzelnachweise

1. Theorem 4.2 in Gabai, op.cit.
2. Lemma 3.5 in Gabai, op.cit.
3. A.Juhász: Holomorphic discs and sutured manifolds. Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), 1429–1457.
4. E.Grigsby, Yi Ni: Sutured Khovanov homology distinguishes braids from other tangles. Math. Res. Lett. 21 (2014), no. 6, 1263–1275.
5. D.Matthews: Chord diagrams, contact-topological quantum field theory and contact categories. Algebr. Geom. Topol. 10 (2010), no. 4, 2091–2189.