Polynomkonvexität

Polynomkonvexität ist eine mathematische Eigenschaft von Mengen im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, die in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher betrachtet wird. Sie spielt eine Rolle bei der Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome.

Definition

Für eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ heißt

${\displaystyle {\hat {K}}\,:=\,\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};\,|p(z_{1},\ldots ,z_{n})|\leq \|p\|_{K}\,{\mbox{ für alle Polynome }}p\}}$

die polynomkonvexe Hülle von ${\displaystyle K}$. Dabei ist ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$ die Supremumsnorm auf ${\displaystyle K}$.

Eine Teilmenge ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} ^{n}}$ nennt man polynomkonvex, wenn für jede kompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subset S}$ auch ${\displaystyle {\hat {K}}\subset S}$ gilt.

Bemerkungen

Sind ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L}$ kompakte Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, so ist offenbar

• ${\displaystyle K\subset {\hat {K}}}$
• Aus ${\displaystyle K\subset L}$ folgt ${\displaystyle {\hat {K}}\subset {\hat {L}}}$
• ${\displaystyle {\hat {\hat {K}}}={\hat {K}}}$.

Das rechtfertigt die Bezeichnung Hülle in Analogie zur konvexen Hülle. Diese Analogie kann man weiter treiben: Man beachte, dass die abgeschlossene konvexe Hülle einer kompakten Teilmenge ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}$ gleich der Menge aller Vektoren ${\displaystyle x}$ ist, so dass ${\displaystyle |f(x)|\leq \|f\|_{C}}$ für alle linearen Funktionale ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. In obiger Definition sind die linearen Funktionale durch Polynome ersetzt. Diese Analogie motiviert die Bezeichnungen polynomkonvexe Hülle und polynomkonvex.

Ferner zeigt diese Betrachtung, dass eine kompakte Menge ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ genau dann polynomkonvex ist, wenn ${\displaystyle K={\hat {K}}}$. Insbesondere ist eine kompakte Menge ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ genau dann polynomkonvex, wenn es zu jedem ${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\setminus K}$ ein Polynom ${\displaystyle p}$ gibt mit

• ${\displaystyle p(z_{1},\ldots ,z_{n})=1}$
• ${\displaystyle |p(w_{1},\ldots ,w_{n})|<1}$ für alle ${\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{n})\in K}$.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ polynomkonvex, so ist ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\setminus K}$ zusammenhängend. Im Fall ${\displaystyle n=1}$ gilt hiervon die Umkehrung, im Falle ${\displaystyle n>1}$ gilt ist die Umkehrung falsch.
• Polyzylinder sind polynomkonvex.
• Kompakte konvexe Mengen im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ sind polynomkonvex.
• Die Vereinigung zweier disjunkter konvexer Mengen im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ist polynomkonvex; für drei Mengen gilt das im Allgemeinen nicht.
• ${\displaystyle \{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2};\,|z_{1}|=1=|z_{2}|\}}$ ist nicht polynomkonvex.

Ein Satz von Oka

Polynomkonvexe Mengen spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Approximation holomorpher Funktionen d​urch Polynome. Der eindimensionale Fall i​st genau d​er Rungesche Approximationssatz.

Der Satz v​on Oka k​ann in folgenden Versionen wiedergegeben werden:

• Sei ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ eine kompakte, polynomkonvexe Menge. Dann kann jede in einer Umgebung von ${\displaystyle K}$ definierte holomorphe Funktionen gleichmäßig auf ${\displaystyle K}$ durch Polynome approximiert werden.
• Sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ein polynomkonvexes Gebiet. Dann kann jede auf ${\displaystyle D}$ definierte holomorphe Funktion kompakt-gleichmäßig durch Polynome approximiert werden.

Literatur

• Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965
• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973