GARCH-Modelle

GARCH-Modelle (GARCH, Akronym für: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, deutsch verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizität) bzw. verallgemeinerte autoregressive Modelle m​it bedingter Heteroskedastizität o​der auch verallgemeinerte autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle s​ind stochastische Modelle z​ur Zeitreihenanalyse, d​ie eine Verallgemeinerung d​er ARCH-Modelle (autoregressive conditional heteroscedasticity) sind. Sie werden beispielsweise i​n der Ökonometrie b​ei der Analyse d​er Renditen v​on Aktienkursen z​ur Modellierung d​es Volatilitätsclusterings verwendet. GARCH-Modelle wurden 1986 v​on Tim Bollerslev a​uf der Grundlage d​es ARCH-Modells v​on Robert F. Engle (1982) entwickelt.

Definition

Eine Zeitreihe ${\displaystyle (x_{t})_{t\in \mathbb {Z} }}$ heißt GARCH(p,q)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}&=\sigma _{t}\epsilon _{t}\\\sigma _{t}^{2}&=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+\dotsb +a_{p}x_{t-p}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}+\dotsb +b_{q}\sigma _{t-q}^{2},\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{p},b_{1},\dotsc ,b_{q}}$ reelle, nichtnegative Parameter mit ${\displaystyle a_{p}\neq 0}$ und ${\displaystyle b_{q}\neq 0}$ sind, und der Prozess ${\displaystyle (\epsilon _{t})_{t\in \mathbb {Z} }}$ aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit ${\displaystyle \operatorname {E} (\epsilon _{t})=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{t})=1}$ besteht.

Bei einem GARCH-Modell hängt also die bedingte Varianz ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\operatorname {Var} (x_{t}\mid x_{t-1},x_{t-2},\dotsc )}$ von ${\displaystyle x_{t}}$ von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab.

Erweiterungen

T-GARCH

T-GARCH-Modelle sind keine echten GARCH-Modelle, sondern verallgemeinern diese wie folgt:
Mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p, z. B. p=0.999, entsprechen sie dem "normalen" GARCH und mit Wahrscheinlichkeit 1-p einem vorher festgelegten Wert. Mit diesen nicht-linearen Modellen können dann zum Beispiel Börsencrashs oder Ähnliches simuliert werden.[2]

COGARCH

Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner u​nd Ross Maller stellten 2004 e​ine zeitstetige Erweiterung d​es zeitdiskreten GARCH(1,1)-Prozesses vor. Man beginnt dafür m​it den GARCH(1,1)-Gleichungen

${\displaystyle x_{t}=\sigma _{t}\epsilon _{t}}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}=a_{0}+a_{1}\sigma _{t-1}^{2}\epsilon _{t-1}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}}$

und ersetzt die unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ formal durch die infinitesimalen Inkremente ${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$ eines Lévy-Prozesses ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$ sowie deren Quadrate ${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}$ durch die Inkremente ${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$, wobei

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0}$

der rein unstetige Teil des quadratischen Variationsprozesses von ${\displaystyle L}$ ist. Man erhält also das System

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$

von stochastischen Differentialgleichungen, wobei sich die positiven Parameter ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \eta }$ und ${\displaystyle \varphi }$ aus ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle b_{1}}$ bestimmen lassen. Hat man nun eine Anfangsbedingung ${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$ gegeben, so hat das obige System eine pfadweise eindeutige Lösung ${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$, die dann als COGARCH-Modell (continuous-time GARCH) bezeichnet wird.[3]

Siehe auch

• NARCH-Modell

Literatur

• T. Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol. 31, No. 3, 1986, S. 307–327, doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1.
• J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.

Referenzen

1. Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.
2. Dissertation zu T-GARCH
3. C. Klüppelberg, A. Lindner, R. Maller: A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: stationarity and second-order behaviour. In: Journal of Applied Probability. Band 41, Nr. 3, 2004, S. 601–622, doi:10.1239/jap/1091543413.