Furstenbergs x2x3-Theorem

Furstenbergs x2x3-Theorem i​st ein zahlentheoretisches Resultat a​us der mathematischen Theorie dynamischer Systeme. Es i​st nach Hillel Furstenberg benannt u​nd ist e​in klassisches Beispiel dafür, d​ass ein d​urch Kombination mehrerer Halbgruppen erhaltenes dynamisches System andere Eigenschaften h​aben kann a​ls die v​on den einzelnen Halbgruppen erzeugten Systeme.

Aussage des Satzes

Für jede irrationale Zahl ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ liegt die Menge

${\displaystyle \left\{2^{m}3^{n}x\mod 1\colon m,n\in \mathbb {N} \right\}}$

dicht in ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$.

Dynamische Interpretation

Man betrachte die multiplikative Wirkung der multiplikativen Halbgruppe ${\displaystyle \langle 2,3\rangle$ :=\left\{2^{m}3^{n}\colon m,n\in \mathbb {N} \right\}} auf dem Kreis ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$. Furstenbergs x2x3-Theorem besagt dann, dass die Orbiten irrationaler Zahlen dicht liegen. (Dagegen können Orbiten rationaler Zahlen periodisch sein.)

Eine stärkere Aussage wäre Fürstenbergs x2x3-Vermutung. Diese besagt, dass die einzigen ${\displaystyle \langle 2,3\rangle }$-invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem Kreis das Lebesgue-Maß und gewisse endliche Linearkombinationen von Dirac-Maßen sind.

Furstenbergs x2x3-Theorem ist auch deshalb bemerkenswert, weil es zahlreiche Cantor-Mengen (und dementsprechend zahlreiche Wahrscheinlichkeitsmaße) gibt, die unter der Wirkung einer der beiden Halbgruppen ${\displaystyle \left\{2^{m}\colon m\in \mathbb {N} \right\}}$ oder ${\displaystyle \left\{3^{n}\colon n\in \mathbb {N} \right\}}$ (aber nicht unter beiden) invariant sind.

Literatur

• Furstenberg: Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation. Math. Systems Theory 1 (1967), 1–49.

Weblinks

• Gorodnik: Dynamical Systems in Number Theory (Lecture 10)