Fortsetzungssatz von Lavrentieff

Der Fortsetzungssatz v​on Lavrentieff i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Topologie, welcher a​uf den russischen Mathematiker Michail Lavrentieff zurückgeht. Er i​st mit d​em Satz v​on Mazurkiewicz verwandt u​nd behandelt e​ine Fortsetzungseigenschaft vollständiger metrischer Räume.

Formulierung des Satzes

Gegeben seien vollständige metrische Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ und darin Unterräume ${\displaystyle A\subseteq X}$ und ${\displaystyle B\subseteq Y}$ sowie ein Homöomorphismus ${\displaystyle h\colon A\rightarrow B}$ . Dann gilt:

Es existieren ${\displaystyle G_{\delta }}$-Mengen

${\displaystyle A^{*}\subseteq X}$ und ${\displaystyle B^{*}\subseteq Y}$

mit

${\displaystyle A\subseteq A^{*}\subseteq {\overline {A}}}$ und ${\displaystyle B\subseteq B^{*}\subseteq {\overline {B}}}$

und dazu ein Homöomorphismus

${\displaystyle h^{*}\colon A^{*}\rightarrow B^{*}}$ ,

welcher eine stetige Fortsetzung von ${\displaystyle h\colon A\rightarrow B}$ darstellt .

Quellen

• M. Lavrentieff: Contribution à la théorie des ensembles homéomorphes. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, S. 149–160.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. R. Oldenbourg Verlag, München 2011, S. 218.
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970, S. 178.

Weblink

Lavrentieffs Fortsetzungssatz i​n der Encyclopedia o​f Mathematics (online)