Formel von Riemann-Hurwitz

In d​er Mathematik m​acht die klassische Formel v​on Riemann-Hurwitz (auch a​ls Satz v​on Hurwitz bezeichnet) e​ine Aussage über d​ie holomorphen Abbildungen zwischen kompakten riemannschen Flächen u​nd setzt Verzweigungsordnung u​nd Blätterzahl i​n Zusammenhang m​it dem topologischen Geschlecht (Anzahl d​er "Löcher") d​er beiden Flächen.

Benannt i​st die Formel n​ach Bernhard Riemann u​nd Adolf Hurwitz.

Aussage

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ kompakte riemannsche Flächen vom topologischen Geschlecht ${\displaystyle g}$ bzw. ${\displaystyle g^{\prime }}$ und ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ eine ${\displaystyle n}$-blättrige verzweigte holomorphe Überlagerung. ${\displaystyle b}$ bezeichne die totale Verzweigungsordnung von ${\displaystyle f}$. Dann gilt zwischen diesen Größen folgende Beziehung:

${\displaystyle 2g-2=b+n\cdot (2g^{\prime }-2)}$.

Die totale Verzweigungsordnung i​st definiert a​ls Summe a​ller Verzweigungsordnungen:

${\displaystyle b:=\sum _{P\in X}\left(e(P)-1\right)}$

wobei ${\displaystyle e(P)}$ die Multiplizität der Abbildung ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle P}$ bezeichnet. Die Kompaktheit von ${\displaystyle X}$ garantiert, dass es nur endlich viele Verzweigungspunkte gibt und damit die Summe endlich ist.

Anwendungsbeispiel

Die Formel von Riemann-Hurwitz ist vor allem nützlich zur Berechnung des topologischen Geschlechts einer riemannschen Fläche. Sei zum Beispiel ${\displaystyle X}$ die riemannsche Fläche der algebraischen Funktion ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1-z^{n}}}}$. Dadurch wird eine ${\displaystyle n}$-blättrige verzweigte Überlagerung auf die riemannsche Zahlenkugel (Geschlecht ${\displaystyle 0}$) definiert. Es lässt sich weiter feststellen, dass es genau ${\displaystyle n}$ Verzweigungspunkte gibt, alle mit Verzweigungsordnung ${\displaystyle n-1}$. Eingesetzt in die Formel ergibt sich für das Geschlecht von ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle g={\frac {(n-1)(n-2)}{2}}}$.

Verallgemeinerungen

Algebraische Kurven

Für nicht-singuläre projektive algebraische Kurven über e​inem algebraisch abgeschlossenen Körper g​ilt die Formel v​on Riemann-Hurwitz ebenfalls, u​nd zwar i​n folgender Formulierung:

${\displaystyle 2g-2=n\cdot (2g'-2)+\mathrm {deg} \,R}$

wobei ${\displaystyle \textstyle R:=\sum _{P\in X}\mathrm {len} \left(\Omega _{X/Y}\right)_{P}\cdot P}$ den Verzweigungsdivisor bezeichnet.

Erklärung der Notation: Das (arithmetische) Geschlecht ${\displaystyle g}$ einer nicht-singulären projektiven Kurve ${\displaystyle X}$ ist definiert als die Dimension der ersten Kohomologiegruppe der Garbe der Zariski-regulären Funktionen: ${\displaystyle g:=\dim H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$. Für den Fall, dass die Kurven über dem Grundkörper der komplexen Zahlen betrachtet werden, stimmt diese Definition des Geschlechtes mit dem topologischen Geschlecht überein und es handelt sich dann lediglich um eine Umformulierung der klassischen Aussage mit Hilfe der Algebra.

Da ein nicht-konstanter Morphismus ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ zwischen solchen algebraischen Kurven automatisch surjektiv ist, induziert er einen Monomorphismus ${\displaystyle f^{*}:k(Y)\rightarrow k(X)}$ der zugehörigen Funktionenkörper. Dadurch kann ${\displaystyle k(Y):k(X)}$ als Körpererweiterung aufgefasst werden. Der Grad ${\displaystyle n}$ der Körpererweiterung ist endlich und stellt das algebraische Pendant zur Blätterzahl dar.

${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ bezeichnet die Garbe der relativen Differenziale. Wenn die Verzweigungspunkte zahm sind, d. h. falls der Grundkörper Charakteristik ${\displaystyle 0}$ hat oder falls die Charakteristik des Grundkörpers die Multiplizitäten ${\displaystyle e(P)}$ für keinen Punkt ${\displaystyle P\in X}$ teilt, dann gilt ${\displaystyle \mathrm {len} \left(\Omega _{X/Y}\right)_{P}=e(P)-1}$, somit entspricht dann ${\displaystyle \textstyle \mathrm {deg} R=\sum _{P\in X}\left(e(P)-1\right)}$ der totalen Verzweigungsordnung.

Zahlentheorie

Die Formel lässt s​ich in abgewandelter Form a​uf Erweiterungen algebraisch nicht-abgeschlossener Körper übertragen u​nd findet i​n der Zahlentheorie Verwendung.

Literatur

• Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 0-387-90244-9.
• Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-57053-5.