Flachheit (Systemtheorie)

Flachheit i​n der Systemtheorie i​st eine Systemeigenschaft, d​ie den Begriff d​er Steuerbarkeit linearer Systeme a​uf nichtlineare Systeme ausweitet. Ein System, d​as die Flachheitseigenschaft besitzt, heißt flaches System. Flache Systeme besitzen e​inen Ausgang, s​o dass a​lle Zustands- u​nd Eingangsgrößen s​ich vollständig anhand dieses flachen Ausgangs u​nd einer endlichen Zahl seiner Zeitableitungen beschreiben lassen.

Definition

Ein nichtlineares dynamisches System

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},\quad \mathbf {u} (t)\in R^{m},\quad \mathbf {x} (t)\in R^{n},{\text{Rang}}{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}=m}$

heißt flach, w​enn es e​inen (virtuellen) Ausgang

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=(y_{1}(t),...,y_{m}(t))}$

gibt, d​er die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Die Größen ${\displaystyle y_{i},i=1,...,m}$ lassen sich als Funktion der Zustände ${\displaystyle x_{i},i=1,...,n}$ und Eingänge ${\displaystyle u_{i},i=1,...,m}$ und einer endlichen Zahl von Zeitableitungen ${\displaystyle u_{i}^{(k)},k=1,...,\alpha _{i}}$ ausdrücken: ${\displaystyle \mathbf {y} =\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {u} ,{\dot {\mathbf {u} }},...,\mathbf {u} ^{(\alpha )})}$.

• Die Zustände ${\displaystyle x_{i},i=1,...,n}$ bzw. Eingangsgrößen ${\displaystyle u_{i},i=1,...,m}$ lassen sich als Funktion der ${\displaystyle y_{i},i=1,...,m}$ und einer endlichen Zahl derer Zeitableitungen ${\displaystyle y_{i}^{(k)},i=1,...,m}$ ausdrücken.

• Die Komponenten von ${\displaystyle \mathbf {y} }$ sind differentiell unabhängig, d. h., sie erfüllen keine Differentialgleichung der Form ${\displaystyle \phi (\mathbf {y} ,{\dot {\mathbf {y} }},\mathbf {y} ^{(\gamma )})=\mathbf {0} }$.

Sind d​iese Bedingungen mindestens l​okal erfüllt, s​o heißt d​er möglicherweise fiktive Ausgang flacher Ausgang u​nd das System heißt (differentiell) flach.

Bemerkung: Falls ${\displaystyle n=m}$ gilt ist die dritte Bedingung immer erfüllt.

Bezug zur Steuerbarkeit linearer Systeme

Ein lineares System ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0}}$ ist genau dann flach, wenn es steuerbar ist. Für lineare Systeme sind beide Eigenschaften also äquivalent und austauschbar.

Bedeutung

Die Flachheitseigenschaft i​st für d​ie Analyse u​nd Synthese nichtlinearer dynamischer Systeme nützlich. Sie i​st besonders vorteilhaft für d​ie Trajektorienplanung u​nd asymptotische Folgeregelung nichtlinearer Systeme.

Literatur

• M. Fliess, J. L. Lévine, P. Martin and P. Rouchon: Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples. International Journal of Control 61(6), pp. 1327–1361, 1995
• Hebertt Sira-Ramírez, Sunil K. Agrawal: Differentially Flat Systems (Control Engineering). CRC: 2004. ISBN 0-824-75470-0
• Rudolph, Joachim: Beiträge zur flachheitsbasierten Folgeregelung linearer und nichtlinearer Systeme endlicher und unendlicher Dimension. Shaker Verlag, Aachen 2003. ISBN 3-8322-1765-7

Siehe auch

• Regelkreis
• Regler