Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)

Zu d​en zahlreichen Resultaten i​n der Theorie d​er endlichen Gruppen, d​ie im Zusammenhang m​it den Sylow-Sätzen stehen, zählt e​in als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, d​er nicht zuletzt e​ine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht.[1] Der Fixpunktsatz beruht a​uf einer allgemeinen Formel, welche n​icht zuletzt d​ie bekannte Klassengleichung i​n sich einschließt.[1][2][3]

Formulierung

Dieser Fixpunktsatz lässt s​ich folgendermaßen formulieren:[4][5][6]

Gegeben seien eine endliche Menge ${\displaystyle X}$ und weiter eine Primzahl ${\displaystyle p}$, eine natürliche Zahl ${\displaystyle r}$ sowie eine endliche Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ der Ordnung ${\displaystyle |G|=p^{r}}$.[A 1]

Dabei soll ${\displaystyle (G,\cdot )}$ vermöge der äußeren Operation ${\displaystyle G\times X\to X\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x\;,\;}$ auf ${\displaystyle X}$ operieren.[A 2]

Dann gelten folgende Aussagen:

(i) ${\displaystyle |\operatorname {Fix} _{G}(X)|\equiv |X|{\pmod {p}}}$[A 3][A 4]

(ii) Insbesondere existiert, wenn ${\displaystyle |X|}$ und ${\displaystyle p}$ teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.

Allgemeine Formel

Die o​ben erwähnte allgemeine Formel lässt s​ich wie f​olgt angeben:[4][6]

Gegeben seien eine Menge ${\displaystyle X}$ und eine Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$, die vermöge ${\displaystyle G\times X\to X\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x\;,\;}$ auf ${\displaystyle X}$ operieren soll.

Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem ${\displaystyle V\subseteq X}$ für die durch die Bahnen auf ${\displaystyle X}$ gegebenen Partition.

Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel

${\displaystyle |X|=|\operatorname {Fix} _{G}(X)|+\sum \limits _{x\in V\;{\text{mit}} \atop \;\ (G\colon G_{x})>1}{(G\colon G_{x})}}$.[A 5][A 6][A 7][A 8][A 9]

Folgerungen

Der o​bige Fixpunktsatz h​at eine Reihe interessanter Anwendungen.

Über das Zentrum endlicher p-Gruppen

Hier führt d​er Fixpunktsatz unmittelbar z​u folgendem Resultat:[7][8]

Gegeben seien eine Primzahl ${\displaystyle p}$ und dazu eine endliche p-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit zugehörigem Zentrum ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$.

Dann gilt:

(i) Besteht ein Normalteiler ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)\cap N}$ nicht aus dem neutralen Element allein.

(ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe ${\displaystyle G}$ im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$.

Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen

Hier ergibt s​ich aus d​em Fixpunktsatz d​ie folgende Strukturaussage:[9]

Jede endliche p-Gruppe ${\displaystyle G}$ der Ordnung ${\displaystyle |G|=p^{r}}$ (${\displaystyle p}$ prim, ${\displaystyle r\in \mathbb {N} \;,\;r\geq 1}$) hat einen Normalteiler ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ der Ordnung ${\displaystyle |N|=p^{r-1}}$ .

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, ISBN 3-446-11965-5 (MR0460010).
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 4. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2, doi:10.1007/978-3-662-54722-9.
• Gernot Stroth: Endliche Gruppen. Eine Einführung (= De Gruyter Studium). Walter de Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-029157-5.

Anmerkungen

1. Mit ${\displaystyle |M|}$ bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge ${\displaystyle M}$. Ist ${\displaystyle M}$ eine endliche Menge, so ist ${\displaystyle |M|}$ die Anzahl der in ${\displaystyle M}$ enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.
2. Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich ${\displaystyle \cdot }$, bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß ${\displaystyle gx=g\cdot x}$.
3. Die Teilmenge ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{G}(X)\subseteq X}$ besteht aus genau den Elementen ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle g\cdot x=x}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$. Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).
4. Mit ${\displaystyle \equiv }$ wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.
5. Für ein ${\displaystyle x\in X}$ ist dabei ${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\leq G}$ der zugehörige Stabilisator und ${\displaystyle (G\colon G_{x})}$ sein Index in ${\displaystyle (G,\cdot )}$.
6. Ein ${\displaystyle x\in X}$ ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn ${\displaystyle G_{x}=G}$ bzw. ${\displaystyle (G\colon G_{x})=1}$ gilt.
7. Die Summationsbedingung ${\displaystyle (G\colon G_{x})>1}$ wird möglicherweise von keinem ${\displaystyle x\in V}$ erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert ${\displaystyle 0}$.
8. Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.
9. Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.

Einzelnachweise

1. Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67
2. Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.
3. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.
4. Meyberg, op. cit., S. 67
5. Stroth, op. cit., S. 5
6. Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99
7. Stroth, op. cit., S. 6
8. Meyberg, op. cit., S. 68
9. Meyberg, op. cit., S. 74–75