Fischer-Gruppe

Eine Fischer-Gruppe ist in der Gruppentheorie eine der drei sporadischen Gruppen, die nach Bernd Fischer benannt wurden.

Die drei Gruppen wurden von Fischer im Zuge seiner Beschäftigung mit sogenannten 3-Transpositionsgruppen im Jahr 1971 bzw. 1976 entdeckt. (Erste Hinweise von Fischer auf die Gruppen gibt es jedoch schon in den Vortragsbüchern des Jahres 1969 aus dem Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach.[1])

Darüber hinaus wird manchmal auch die Baby-Monstergruppe, die zweitgrößte der sporadischen Gruppen, die ebenfalls von Bernd Fischer entdeckt wurde, zu den Fischer-Gruppen gezählt.

Die drei Fischer-Gruppen

Die Fischer-Gruppe F22 hat die Ordnung 64.561.751.654.400 = 2¹⁷·3⁹·5²·7·11·13.
Die Fischer-Gruppe F23 hat die Ordnung 4.089.470.473.293.004.800 = 2¹⁸·3¹³·5²·7·11·13·17·23.
Die Fischer-Gruppe F24 hat die Ordnung 1.255.205.709.190.661.721.292.800 = 2²¹·3¹⁶·5²·7³·11·13·17·23·29.

Bezeichnungen

Im Gegensatz zu den anderen sporadischen Gruppen sind die Bezeichnungen sehr uneinheitlich. Meist werden sie mit F₂₂, F₂₃ und F₂₄ oder Fi₂₂, Fi₂₃ und Fi₂₄' bezeichnet, während Fischer selbst die Gruppen mit M(22), M(23) und M(24)′ bezeichnete. (Auch wird manchmal nur Fi₂₄ anstelle von Fi₂₄' geschrieben. In der Regel ist Fi₂₄ aber die Bezeichnung der vollen 3-Transpositionsgruppe, die nicht einfach ist, die aber eine einfache Untergruppe vom Index 2 hat, die dann die sporadische Gruppe Fi₂₄' bildet.)

Weblinks

Fischer Groups (Wolfram MathWorld; englisch)
Sporadic Groups im Atlas of Finite Group Representations (englisch)

Einzelnachweise

Gerhard Hiss: Die sporadischen Gruppen. In: Jahresberichte der Deutschen Mathematikervereinigung, Ausgabe 4 – 2003, S. 169 − 194.

Literatur

Fischer, Bernd (1971): "Finite groups generated by 3-transpositions. I", Inventiones Mathematicae, 13 (3): 232–246
Fischer, Bernd (1976): "Finite Groups Generated by 3-transpositions", Preprint, Mathematics Institute, University of Warwick

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[1] Gerhard Hiss: Die sporadischen Gruppen. In: Jahresberichte der Deutschen Mathematikervereinigung, Ausgabe 4 – 2003, S. 169 − 194.