Faserung

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, versteht man unter einer Faserung (auch Hurewicz-Faserung, nach dem polnischen Mathematiker Witold Hurewicz) eine stetige Abbildung von topologischen Räumen, welche der Homotopie-Hochhebungseigenschaft bezüglich jedes topologischen Raumes genügt. Faserungen spielen in der Homotopietheorie, einem Untergebiet der algebraischen Topologie, eine große Rolle. Grob gesprochen sind Faserungen Raumpaare mit einer Abbildung untereinander, die zulassen, dass man beliebige Homotopien in den Bildraum entlang der gegebenen Abbildung auf den Urbildraum zurückziehen kann.

Definition

Homotopie-Hochhebungseigenschaft

Bezeichne ${\displaystyle I}$ das Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$.

Eine stetige Abbildung von topologischen Räumen ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für den topologischen Raum ${\displaystyle X}$, wenn es für alle stetigen Abbildungen

${\displaystyle f\colon X\times I\longrightarrow B}$

sowie

${\displaystyle {\bar {f}}\colon X\times \{0\}\to E}$,

sodass das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad {\bar {f}}\colon X\times \{0\}&\longrightarrow &E\\\operatorname {incl} {\bigg \downarrow }&&{\bigg \downarrow }p\\\qquad f\colon X\times I\ &\longrightarrow &B\end{matrix}}}$

kommutiert, eine Abbildung

${\displaystyle F\colon X\times I\longrightarrow E}$

gibt, so dass ${\displaystyle f=p\circ F}$ und ${\displaystyle F|_{X\times \{0\}}={\bar {f}}}$ ist. Dies ist ein Spezialfall der Hochhebungseigenschaft aus der Kategorientheorie.

Hurewicz-Faserungen

Eine Faserung (auch Hurewicz-Faserung) ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, die die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle topologischen Räume ${\displaystyle X}$ erfüllt.

${\displaystyle E}$ nennt man Totalraum, ${\displaystyle B}$ die Basis der Faserung. Das Urbild ${\displaystyle p^{-1}(b)}$ eines Punktes ${\displaystyle b\in B}$ bezeichnet man mit Faser über ${\displaystyle b}$.

Falls die Basis ${\displaystyle B}$ weg-zusammenhängend ist, sind die Fasern über verschiedenen Punkten aus ${\displaystyle B}$ homotopieäquivalent.

Serre-Faserungen

Eine Serre-Faserung ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, die die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe ${\displaystyle X}$ erfüllt.

Dafür hinreichend (und damit äquivalent) ist, dass sie die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für die Räume ${\displaystyle X=\left[0,1\right]^{n}}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ erfüllt.

Quasifaserungen

Eine Quasifaserung ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, für die

${\displaystyle p_{*}:\pi _{i}(E,p^{-1}(x);y)\rightarrow \pi _{i}(B,x)}$

für jedes ${\displaystyle x\in B,y\in p^{-1}(x)}$ und alle ${\displaystyle i\geq 0}$ ein Isomorphismus ist.

Falls die Basis wegzusammenhängend ist, sind alle Fasern schwach homotopieäquivalent.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle F}$ ein beliebiger topologischer Raum und sei

${\displaystyle p:B\times F\to B}$

eine Projektion auf den ersten Faktor, dann ist ${\displaystyle p}$ eine Faserung.

• Jede Überlagerung ist eine Faserung.
• Allgemeiner ist jedes Faserbündel eine Serre-Faserung. In diesem Fall sind die Urbilder verschiedener Punkte nicht nur homotopieäquivalent, sondern sogar homöomorph.
• Es gibt Beispiele von Faserbündeln, die keine Hurewicz-Faserungen sind. Faserbündel über parakompakten Räumen sind aber immer auch Hurewicz-Faserungen (Satz von Huebsch-Hurewicz).
• Eine Faserung, die kein Faserbündel sein muss, ist die Wege-Faserung eines topologischen Raumes.

Lange exakte Homotopiesequenz

Für Serre-Faserungen (und auch allgemeiner für Quasifaserungen) ${\displaystyle p:E\rightarrow B}$ hat man eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen

${\displaystyle \ldots \rightarrow \pi _{n+1}(B,y)\rightarrow \pi _{n}(F,x)\rightarrow \pi _{n}(E,x)\rightarrow \pi _{n}(B,y)\rightarrow \pi _{n-1}(F,x)\rightarrow \ldots }$.

Hierbei ist ${\displaystyle x\in E,y=p(x)\in B}$ und ${\displaystyle F=p^{-1}(y)}$ die Faser.

Beispiel: die Hopf-Faserung ${\displaystyle p:S^{3}\rightarrow S^{2}}$ mit Faser ${\displaystyle S^{1}}$. Bekanntlich ist ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ für alle ${\displaystyle n\geq 2}$, daraus folgt ${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})\cong \pi _{n}(S^{2})}$ für alle ${\displaystyle n\geq 3}$, insbesondere ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\mathbb {Z} }$.

Homologiegruppen von Faserungen

Die Homologiegruppen von Serre-Faserungen können oft mit Hilfe von Spektralsequenzen berechnet werden.

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. McGraw-Hill, New York NY u. a. 1966 (McGraw-Hill Series in Higher Mathematics).
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X pdf
• Jean-Pierre Serre: Homologie singulière des espaces fibrés. Applications. Ann. of Math. (2) 54, (1951). 425–505. pdf
• Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 1958 239–281. pdf
• J. P. May.: Weak equivalences and quasifibrations. In Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988), volume 1425 of Lecture Notes in Math., pages 91–101. Springer, Berlin, 1990.