Faserung

In d​er algebraischen Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, versteht m​an unter e​iner Faserung (auch Hurewicz-Faserung, n​ach dem polnischen Mathematiker Witold Hurewicz) e​ine stetige Abbildung v​on topologischen Räumen, welche d​er Homotopie-Hochhebungseigenschaft bezüglich j​edes topologischen Raumes genügt. Faserungen spielen i​n der Homotopietheorie, e​inem Untergebiet d​er algebraischen Topologie, e​ine große Rolle. Grob gesprochen s​ind Faserungen Raumpaare m​it einer Abbildung untereinander, d​ie zulassen, d​ass man beliebige Homotopien i​n den Bildraum entlang d​er gegebenen Abbildung a​uf den Urbildraum zurückziehen kann.

Definition

Homotopie-Hochhebungseigenschaft

Bezeichne ${\displaystyle I}$ das Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$.

Eine stetige Abbildung von topologischen Räumen ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für den topologischen Raum ${\displaystyle X}$, wenn es für alle stetigen Abbildungen

${\displaystyle f\colon X\times I\longrightarrow B}$

sowie

${\displaystyle {\bar {f}}\colon X\times \{0\}\to E}$,

sodass d​as Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad {\bar {f}}\colon X\times \{0\}&\longrightarrow &E\\\operatorname {incl} {\bigg \downarrow }&&{\bigg \downarrow }p\\\qquad f\colon X\times I\ &\longrightarrow &B\end{matrix}}}$

kommutiert, e​ine Abbildung

${\displaystyle F\colon X\times I\longrightarrow E}$

gibt, so dass ${\displaystyle f=p\circ F}$ und ${\displaystyle F|_{X\times \{0\}}={\bar {f}}}$ ist. Dies ist ein Spezialfall der Hochhebungseigenschaft aus der Kategorientheorie.

Hurewicz-Faserungen

Eine Faserung (auch Hurewicz-Faserung) ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, die die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle topologischen Räume ${\displaystyle X}$ erfüllt.

${\displaystyle E}$ nennt man Totalraum, ${\displaystyle B}$ die Basis der Faserung. Das Urbild ${\displaystyle p^{-1}(b)}$ eines Punktes ${\displaystyle b\in B}$ bezeichnet man mit Faser über ${\displaystyle b}$.

Falls die Basis ${\displaystyle B}$ weg-zusammenhängend ist, sind die Fasern über verschiedenen Punkten aus ${\displaystyle B}$ homotopieäquivalent.

Serre-Faserungen

Eine Serre-Faserung ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, die die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe ${\displaystyle X}$ erfüllt.

Dafür hinreichend (und damit äquivalent) ist, dass sie die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für die Räume ${\displaystyle X=\left[0,1\right]^{n}}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ erfüllt.

Quasifaserungen

Eine Quasifaserung ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, für die

${\displaystyle p_{*}:\pi _{i}(E,p^{-1}(x);y)\rightarrow \pi _{i}(B,x)}$

für jedes ${\displaystyle x\in B,y\in p^{-1}(x)}$ und alle ${\displaystyle i\geq 0}$ ein Isomorphismus ist.

Falls d​ie Basis wegzusammenhängend ist, s​ind alle Fasern schwach homotopieäquivalent.

Jede Serre-Faserung i​st eine Quasifaserung.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle F}$ ein beliebiger topologischer Raum und sei

${\displaystyle p:B\times F\to B}$

eine Projektion auf den ersten Faktor, dann ist ${\displaystyle p}$ eine Faserung.

• Jede Überlagerung ist eine Faserung.
• Allgemeiner ist jedes Faserbündel eine Serre-Faserung. In diesem Fall sind die Urbilder verschiedener Punkte nicht nur homotopieäquivalent, sondern sogar homöomorph.
• Es gibt Beispiele von Faserbündeln, die keine Hurewicz-Faserungen sind. Faserbündel über parakompakten Räumen sind aber immer auch Hurewicz-Faserungen (Satz von Huebsch-Hurewicz).
• Eine Faserung, die kein Faserbündel sein muss, ist die Wege-Faserung eines topologischen Raumes.

Lange exakte Homotopiesequenz

Für Serre-Faserungen (und auch allgemeiner für Quasifaserungen) ${\displaystyle p:E\rightarrow B}$ hat man eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen

${\displaystyle \ldots \rightarrow \pi _{n+1}(B,y)\rightarrow \pi _{n}(F,x)\rightarrow \pi _{n}(E,x)\rightarrow \pi _{n}(B,y)\rightarrow \pi _{n-1}(F,x)\rightarrow \ldots }$.

Hierbei ist ${\displaystyle x\in E,y=p(x)\in B}$ und ${\displaystyle F=p^{-1}(y)}$ die Faser.

Beispiel: die Hopf-Faserung ${\displaystyle p:S^{3}\rightarrow S^{2}}$ mit Faser ${\displaystyle S^{1}}$. Bekanntlich ist ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ für alle ${\displaystyle n\geq 2}$, daraus folgt ${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})\cong \pi _{n}(S^{2})}$ für alle ${\displaystyle n\geq 3}$, insbesondere ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\mathbb {Z} }$.

Homologiegruppen von Faserungen

Die Homologiegruppen v​on Serre-Faserungen können o​ft mit Hilfe v​on Spektralsequenzen berechnet werden.

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. McGraw-Hill, New York NY u. a. 1966 (McGraw-Hill Series in Higher Mathematics).
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X pdf
• Jean-Pierre Serre: Homologie singulière des espaces fibrés. Applications. Ann. of Math. (2) 54, (1951). 425–505. pdf
• Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 1958 239–281. pdf
• J. P. May.: Weak equivalences and quasifibrations. In Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988), volume 1425 of Lecture Notes in Math., pages 91–101. Springer, Berlin, 1990.