Erdquadrant

Ein longitudinaler Erdquadrant[Anm 1] ist die sphäroidisch idealisierte Entfernung auf dem Niveau des Meeresspiegels vom Nordpol bis zum Äquator.

Der Erdquadrant, auf den für die Definition des Meters zwischen 1793 und 1799 ursprünglich Bezug genommen wurde. Auf einem Sphäroid, hier konkret dem Erdellipsoid, existieren unendlich viele longitudinale Quadranten, die aber alle die gleiche Länge besitzen

Bestimmung zur Zeit der Meterdefinition(en)

Der französische Nationalkonvent von 1793 legte das Längenmaß Meter als den zehnmillionsten Teil der Streckenlänge Nordpol—Paris—Äquator fest. Ein Erdquadrant maß demnach die halbe Länge des Meridians von Paris, bzw. ein Viertel des Längenkreises von Paris. Die französische Erdmessung erbrachte Mitte des 18. Jahrhunderts einen empirischen Beweis für die polwärtige Abplattung der Erde. Etwa zeitgleiche Messungen von de Lacaille und Cassini III. bestätigten diese Funde. Die Ergebnisse beider Messungen wurden für eine prototypische, physische Realisierung der Meterdefinition des Konvents in Form eines Messingstabs verwendet.

Vor der Einführung des Meters wurde für Arbeiten, die Längenbestimmungen von und an Meridianen zum Inhalt hatten, das Längenmaß Toise verwendet.

Weitere Gradmessungen noch vor Beginn des 19. Jahrhunderts bestimmten den Erdquadranten neu, womit nach der ursprünglichen Definition auch die Länge des Meters variierte. Der Messingstab war daraufhin zu lang. Um zu vermeiden, dass Neubestimmungen des Erdquadrants mittels verbesserter Messinstrumente und mathematischer Verfahren immer wieder die Länge der zu definierenden Einheit Meter änderten, wandelte sich die Definitionsgeschichte des Meters grundlegend. Der zehnmillionste Teil des Erdquadranten nach Rechnung von 1799 wurde als Platinstab gegossen und der Meter fortan als die Länge dieses Gegenstands definiert.

Dieser Platinstab wird auch als definitives Urmeter bezeichnet. Er markiert eine historische Wende wegen der Änderung des Bezugssystems der Meterdefinition, vom zuvor angestrebten Erdquadranten hin (bzw. zurück) zur Länge eines bestimmten Gegenstands. Zuvor waren Pariser Linie und Toise ebenso definiert worden.

Bestimmung in Metern nach 1800

Die Neubestimmung der Parameter des Erdellipsoids mit dem Ziel einer höheren Genauigkeit wurde im 19. und 20. Jahrhundert fortgesetzt. Der Meter war definiert und konnte stückweise die Toise als Längenmaß ablösen. Die Umrechnung der Längenangaben gestaltete sich schwierig, denn für die Toise existierten verschieden lange Referenzgegenstände, das Symbol der Maßeinheit unterschied diese jedoch nicht.

1837 bestimmte Bessel den Erdquadranten auf eine Länge von 10.000.565,278 m, wozu ihm Daten zehn verschiedener Gradmessungen vorlagen.[1] Deren Ergebnisse wurden in Toise notiert, gaben aber mitunter nicht an, auf welche Toise sie konkret Bezug nahmen.

Bessel korrigierte den Wert 1841 auf 10.000.855,76 m und gab einen mittleren Fehler als Maß der Ungenauigkeit von ± 498,23 m an.[2] Auch die Korrekturrechnung beruht auf der Annahme, alle Messwerte bezögen sich auf ein und denselben Toise-Referenzstab. Das bei seiner Ausgleichsrechnung zwischen den Gradmessungsdaten entstandene Referenzellipsoid ist heute als Bessel-Ellipsoid bekannt.[Anm 2]

Für das mit GPS verwendete Ellipsoid des World Geodetic System 1984 (WGS84) beträgt die Länge des longitudinalen Erdquadranten ca. 10.001.966 m.[3]

Formel zur Bestimmung

Ist ein Sphäroid gegeben, lässt sich die Länge des longitudinalen Quadranten wie folgt bestimmen.

{\begin{aligned}f&={\tfrac {1}{n}}\\b&=a\,(1-f)\\\varepsilon &={\sqrt {1-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}\\E(\varepsilon )&=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}(\sin t)^{2}}}\ \mathrm {d} t\\Q_{lon}&=a\,E(\varepsilon )\end{aligned}}

Am Beispiel des für WGS84 definierten Referenzellipsoiden wird Sage benutzt, um

Q_{lon}

zu ermitteln:

sage: a=6378137
sage: n=298.257223563
sage: f=1/n
sage: b=a*(1-f)
sage: e=sqrt(1-b^2/a^2)
sage: qlon=a*elliptic_ec(e^2)

$Q_{lon}=10\,001\,965{,}729\,3127$

$a\,..$ große Halbachse
$b\,..$ kleine Halbachse
$f\,..$ Abplattung
$n\,..$ inverse Abplattung
$\varepsilon \,..$ Numerische Exzentrizität
$E(\varepsilon )=E({\tfrac {\pi }{2}};k=\varepsilon )\,..$ Vollständiges elliptisches Integral der II. Art in Legendre-Form

Historische Werte

Auswahl von Längenbestimmungen des longitudinalen Erdquadranten
Jahr	Bezug	Länge in Meter	Länge in Toise[Anm 3]	Länge in Pariser Linien[Anm 4]	rel. Abweichung zu WGS84 in ‰
1793	de Lacaille Cassini III.	10.003.248,394[Anm 5]	5.132.407,407	4.434.400.000	0,128
1799	Delambre Méchain	10.000.000	5.130.740,740	4.432.960.000	−0,197
1837	Bessel	10.000.565,278[1]	5.131.030,77[1]	4.433.210.585	−0,140
1841	Bessel	10.000.855,762[2] ± 498,23	5.131.179,81[2] ± 255,63	4.433.339.356 ± 220.863	−0,111
~1980	WGS84	10.001.965,729	5.131.749,305	4.433.831.400	0

Siehe auch

Anmerkungen

Diese Bezeichnung ist dem Terminus „Erdmeridianquadrant“ vorzuziehen, da der Terminus „Meridian“ selbst widersprüchlich verwendet wird. Logischerweise legt die Etymologie des Wortes Meridian – einfach nur „Mittag“ bedeutend – nahe, dass es sich nur um halbe Großkreise handelt. Ein falscher Usus setzt aber Meridian und den vollen Längenkreis nicht selten gleich.
Das Bessel-Ellipsoid als idealisierter Erdkörper nähert die von F.W. Bessel verwendeten, zuvor empirisch aufgenommenen Messdaten mittels der Methode der kleinsten Quadrate bestmöglich an, so dass der gewichtete mittlere Abstand aller Messpunkte zur Oberfläche des Ellipsoiden minimal wird. Das Ellipsoid ist Ergebnis der Ausgleichsrechnung.
1 Toise = ⁸⁶⁴⁰⁰⁰⁄₄₄₃₂₉₆ m = ²⁷⁰⁰⁰⁄₁₃₈₅₃ m ≈ 1,949 036 Meter (per Definition von 1799, siehe Toise#Toise du Pérou)
1 Toise = 864 Pariser Linien
10.003.248,3938 m nach heutiger Definition des Meters; 10.000.000 m nach der Definition des provisorischen Urmeters von 1793

Einzelnachweise

Herrn Geh. Rat und Ritter Bessel: Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht. In: H. C. Schumacher (Hrsg.): Astronomische Nachrichten. Band 14, Nr. 333. Hammerich und Lesser, Altona 1837, S. 343–344 (Seite 343–344 in der Google-Buchsuche).
Herrn Geh. Rat und Ritter Bessel: Ueber einen Fehler in der Berechnung der französischen Gradmessung und seinen Einfluß auf die Bestimmung der Figur der Erde. In: H. C. Schumacher (Hrsg.): Astronomische Nachrichten. Band 19, Nr. 438. Hammerich und Lesser, Altona 1842, S. 97–116 (Seite 115–116 in der Google-Buchsuche).
The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. (Memento vom 14. April 2011 im Internet Archive)

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[1] Diese Bezeichnung ist dem Terminus „Erdmeridianquadrant“ vorzuziehen, da der Terminus „Meridian“ selbst widersprüchlich verwendet wird. Logischerweise legt die Etymologie des Wortes Meridian – einfach nur „Mittag“ bedeutend – nahe, dass es sich nur um halbe Großkreise handelt. Ein falscher Usus setzt aber Meridian und den vollen Längenkreis nicht selten gleich.

[4] Das Bessel-Ellipsoid als idealisierter Erdkörper nähert die von F.W. Bessel verwendeten, zuvor empirisch aufgenommenen Messdaten mittels der Methode der kleinsten Quadrate bestmöglich an, so dass der gewichtete mittlere Abstand aller Messpunkte zur Oberfläche des Ellipsoiden minimal wird. Das Ellipsoid ist Ergebnis der Ausgleichsrechnung.

[6] 1 Toise = ⁸⁶⁴⁰⁰⁰⁄₄₄₃₂₉₆ m = ²⁷⁰⁰⁰⁄₁₃₈₅₃ m ≈ 1,949 036 Meter (per Definition von 1799, siehe Toise#Toise du Pérou)

[7] 1 Toise = 864 Pariser Linien

[8] 10.003.248,3938 m nach heutiger Definition des Meters; 10.000.000 m nach der Definition des provisorischen Urmeters von 1793

[Bessel-1837-2] Herrn Geh. Rat und Ritter Bessel: Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht. In: H. C. Schumacher (Hrsg.): Astronomische Nachrichten. Band 14, Nr. 333. Hammerich und Lesser, Altona 1837, S. 343–344 (Seite 343–344 in der Google-Buchsuche).

[Bessel-1841-3] Herrn Geh. Rat und Ritter Bessel: Ueber einen Fehler in der Berechnung der französischen Gradmessung und seinen Einfluß auf die Bestimmung der Figur der Erde. In: H. C. Schumacher (Hrsg.): Astronomische Nachrichten. Band 19, Nr. 438. Hammerich und Lesser, Altona 1842, S. 97–116 (Seite 115–116 in der Google-Buchsuche).

[5] The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. (Memento vom 14. April 2011 im Internet Archive)