Epanechnikov-Kern
Der Epanechnikov-Kern (nach W. A. Jepanetschnikow) ist derjenige Kern, der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:
- für alle
- wird minimiert.
Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers. Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form .
Wir wollen die numerischen Faktoren des Kerns in Kontext setzen. Betrachte dazu zunächst die normierte Familie , deren Terme im Interval eine Hügelform annehmen und welche für große n gegen die rechteckige Verteilung der Höhe konvergiert:
Für diese gilt
Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral für auf Eins. Für wählen wir also [1]:
Mitunter wird auch der Kern mit als Epanechnikov-Kern bezeichnet, der dementsprechend die Eigenschaft 3 nicht erfüllt:
Weblinks
- Beweis der Eigenschaften des Epanechnikov-Kerns (Memento vom 21. Januar 2017 im Internet Archive)
Quellen
- V. A. Epanechnikov: Non-Parametric Estimation of a Multivariate Probability Density. In: Theory of Probability and its Applications, 1969, S. 156