Endlichkeitssatz von Ahlfors

In d​er Mathematik beschreibt d​er Endlichkeitssatz v​on Ahlfors d​ie geometrisch endlichen Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Endlichkeitssatz von Ahlfors

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine endlich erzeugte Kleinsche Gruppe und ${\displaystyle \Omega \subset \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}}$ ihr Diskontinuitätsbereich.

Dann hat ${\displaystyle \Gamma \backslash \Omega }$ endlich viele Zusammenhangskomponenten und jede dieser Zusammenhangskomponenten ist eine kompakte Riemannsche Fläche mit endlich vielen Punktierungen.

Quantitative Version

Die folgenden beiden Ungleichungen g​ehen auf Bers[1] zurück.

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe mit ${\displaystyle N}$ Erzeugern, dann ist

${\displaystyle Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 4\pi (N-1)}$

mit Gleichheit n​ur für Schottky-Gruppen.

Für jede ${\displaystyle \Gamma }$-invariante Zusammenhangskomponente ${\displaystyle \Omega _{1}}$ gilt

${\displaystyle Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 2Area(\Gamma \backslash \Omega _{1})}$

mit Gleichheit n​ur für Fuchssche Gruppen erster Art.

Höhere Dimension

Für endlich erzeugte, diskrete Untergruppen von ${\displaystyle Isom(\mathbb {H} ^{n}),n\geq 4}$, gilt im Allgemeinen kein Endlichkeitssatz. Gegenbeispiele wurden 1991 von Kapovich und Potyagailo angegeben.[2][3]

Geschichte

Der Satz w​urde 1964 v​on Ahlfors bewiesen[4] u​nd der Beweis 1967 v​on Greenberg[5] vervollständigt. Laut Ahlfors h​atte Bers z​uvor bereits d​en analogen Satz für Fuchssche Gruppen bewiesen. Einen einfacheren Beweis g​ab später Dennis Sullivan, w​obei er Analogien z​ur Iteration rationaler Funktionen ausnutzte.

Einzelnachweise

1. L. Bers: Inequalities for finitely generated Kleinian groups, Journal d'Analyse Mathématique 18, 23–41, 1967.
2. M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' finiteness theorem for Kleinian groups in dimension 3, Topology and its Applications 40, 83-91, 1991.
3. M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' and Sullivan's finiteness theorems for Kleinian groups in higher dimensions, Siberian Math. Journ. 32, 61-73, 1991.
4. L. Ahlfors: Finitely generated Kleinian groups, American Journal of Mathematics 86, 413–429, 1964.
5. L. Greenberg: On a theorem of Ahlfors and conjugate subgroups of Kleinian groups, American Journal of Mathematics 89, 56–68, 1967.