Einheitswurzel (Zeitreihenanalyse)

Von e​iner Einheitswurzel spricht m​an in d​er Ökonometrie, speziell i​n der Zeitreihenanalyse, w​enn 1 e​ine Nullstelle d​es charakteristischen Polynoms ist. Ein stochastischer Prozess, d​er eine solche Einheitswurzel besitzt, i​st nichtstationär, m​an spricht a​uch von e​inem stochastischen Trend. Das i​st insbesondere deswegen wichtig, w​eil viele statistische Schätzverfahren, w​ie beispielsweise d​ie Methode d​er kleinsten Quadrate, stationäre Daten voraussetzen u​nd falsche Ergebnisse liefern, w​enn die zugrunde liegenden Reihen n​icht stationär sind, w​ie zum Beispiel i​m Fall d​er spurious regression.

Beispiel AR(p)-Prozess

Man betrachte als Beispiel einen zeitdiskreten stochastischer Prozess {${\displaystyle y_{t},t=1,\infty }$}. Man nehme zusätzlich an, dass sich dieser Prozess als autoregressiver Prozess der Ordnung p darstellen lässt ${\displaystyle AR(p)}$:

${\displaystyle y_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{j\in [1,p]}a_{j}y_{t-j}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}}$

In dem Fall ist {${\displaystyle \varepsilon _{t},t=0,\infty }$} ein nicht autokorrelierter stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ mit dem Mittelwert Null und der konstanten Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Der Einfachheit halber nehme man an, dass ${\displaystyle y_{0}=0}$. Wenn ${\displaystyle m=1}$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

ist, dann hat der stochastische Prozess eine Einheitswurzel oder, anders ausgedrückt, er ist integriert mit Ordnung 1, geschrieben ${\displaystyle I(1)}$. Wenn ${\displaystyle m=1}$ eine mehrfache Nullstelle der Ordnung ${\displaystyle r}$ ist, dann ist der stochastische Prozess integriert mit Ordnung ${\displaystyle I(r)}$.

Beispiel AR(1)-Prozess

Ein spezifischeres Beispiel ist das autoregressive Modell erster Ordnung ${\displaystyle AR(1)}$: ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$. Dieses hat eine Einheitswurzel, wenn ${\displaystyle a_{1}=1}$. In diesem Fall ist das charakteristische Polynom ${\displaystyle m-a_{1}=m-1}$. Die Lösung der Gleichung ist ${\displaystyle m=1}$. Wenn der Prozess eine Einheitswurzel hat, dann ist die Zeitreihe nichtstationär. Das bedeutet die Momente des stochastischen Prozesses hängen von ${\displaystyle t}$ ab. Das ergibt sich wie folgt. In dem Falle einer Einheitswurzel ist der Prozess also

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

sodass mehrfaches Substituieren ${\displaystyle y_{t}=\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$ ergibt. Folglich ist die Varianz von ${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}}$

Weil ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$ aber ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$, hängt die Varianz von ${\displaystyle t}$ ab.

Differenziert man eine mit ${\displaystyle n}$-ter Ordnung integrierte Zeitreihe ${\displaystyle n}$ mal, erhält man einen stationären Prozess. Gegebenenfalls kann Kointegration vorliegen.

Wahrnehmung von Prozessen mit Einheitswurzel

Mehrere Realisierungen eines in Null startenden Random Walks

William Feller gibt Wahrscheinlichkeiten dafür an, welche Zeitanteile ein Random Walk, der in Null startet, in den positiven oder in den negativen Zahlen verbringt und weist anhand dieses Beispiels auf eine mögliche Fehleinschätzung hin. Die Wahrscheinlichkeit, dass überwiegend positive oder überwiegend negative Zahlen angenommen werden, ist deutlich größer als die Wahrscheinlichkeit für ein ausgewogenes Verhältnis: Wird beispielsweise beim zwanzigfach wiederholten Wurf einer Münze die Anzahl der Wappen und die Anzahl der Zahlen notiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitverlauf entweder Wappen oder Zahl mindestens 16 Mal in Führung liegt etwa 68,5 %. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass am Schluss Wappen und Zahl gleich oft in Führung gelegen haben lediglich etwa 6 %. Die intuitive Annahme, dass eine Verdopplung des betrachteten Zeitintervalls eine Verdopplung der Durchgänge durch Null mit sich bringt, ist falsch.[1]

Siehe auch

• Dickey-Fuller-Test

Einzelnachweise

1. William Feller: An introduction to probability theory and its applications, zweite Ausgabe, Wiley, 1968, ISBN 0471257087, S. 68. Hans Pécseli: Fluctuations in physical systems, Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0521651921, S. 87.