Dyadische Elementarzellen

Die Menge d​er dyadischen Elementarzellen i​st eine Partitionierung d​es p-dimensionalen Raumes.

Definition

Mit

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p}:{\frac {k_{i}}{2^{n}}}\leq x_{i}<{\frac {k_{i}+1}{2^{n}}}\right\},\;k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$

definiert man einen halboffenen Würfel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$, der die Kantenlänge ${\displaystyle 2^{-n}}$ hat.

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}}$ bezeichnet die Menge der dyadischen Elementarzellen der Ordnung ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}:=\left\{{\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:k_{i}\in \mathbb {Z} \right\},\;n\in \mathbb {N} \;.}$

Elementarzellen selber Ordnung s​ind also disjunkt u​nd voneinander d​urch ein Gitter getrennt.

Die Menge aller dyadischen Elementarzellen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ wird dann mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ bezeichnet:

${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\left\{{\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}\;.}$

Die Menge der Eckpunkte der dyadischen Elementarzellen ${\displaystyle \left\{({\tfrac {k_{1}}{2^{n}}},\ldots ,{\tfrac {k_{p}}{2^{n}}}):k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}}$ wird das dyadische Gitter genannt.

Bedeutung

Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ der dyadischen Elementarzellen ist ein Halbring und erzeugt die Borelsche σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$. Da ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ abzählbar ist, ist ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ eine separable σ-Algebra.

Beispiele

• ${\displaystyle p=1}$: Elementarzellen sind halboffene Intervalle.
• ${\displaystyle p=2}$: Elementarzellen sind Quadrate.
• ${\displaystyle p=3}$: Elementarzellen sind Würfel.