Dissipativer Operator

In d​er linearen Theorie s​ind Dissipative Operatoren lineare Operatoren, d​ie auf reellen o​der komplexen Banachräumen definiert s​ind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch d​en Satz v​on Lumer-Phillips spielen s​ie eine wichtige Rolle b​ei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.

Definition

Seien ${\displaystyle X}$ ein Banachraum und ${\displaystyle D(A)\subset X}$ . Ein linearer Operator ${\displaystyle A:D(A)\rightarrow X}$ mit

${\displaystyle \|(\lambda -A)x\|\geq \lambda \|x\|}$

für alle ${\displaystyle \lambda >0}$ und ${\displaystyle x\in D(A)}$ wird dissipativ genannt. Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.

Ist ${\displaystyle A}$ ein linearer Operator und ${\displaystyle -A}$ dissipativ, so wird ${\displaystyle A}$ akkretiv genannt. Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.

Hilbertraum

Wenn ${\displaystyle X}$ ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator ${\displaystyle A:D(A)\rightarrow X}$ genau dann dissipativ, falls

${\displaystyle \operatorname {Re} \,\langle Ax,x\rangle \leq 0}$

für alle ${\displaystyle x\in D(A)}$ gilt, wobei ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ den Realteil bezeichnet.

Folgerungen

Sei ${\displaystyle (A,D(A))}$ ein dissipativer Operator auf einem Banachraum ${\displaystyle X}$ .

• ${\displaystyle \lambda -A}$ ist für ein ${\displaystyle \lambda >0}$ surjektiv genau dann, wenn ${\displaystyle \lambda -A}$ für alle ${\displaystyle \lambda >0}$ surjektiv ist. Alsdann heißt ${\displaystyle (A,D(A))}$ m-dissipativ und erzeugt eine stark stetige Operatorhalbgruppe.
• ${\displaystyle A}$ ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von ${\displaystyle \lambda -A}$ für ein ${\displaystyle \lambda >0}$ abgeschlossen ist.

Beispiel

Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ den Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta }$ mit Dirichlet-Randbedingung auf ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ (siehe ${\displaystyle L^{p}}$ -Raum), also ${\displaystyle D(\Delta )=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ , erhält man:

${\displaystyle \langle \Delta u,u\rangle =-\langle \nabla u,\nabla u\rangle =-\|\nabla u\|^{2}\leq 0}$ .

Der Satz von Lax-Milgram beweist, dass ${\displaystyle \Delta :D(\Delta )\rightarrow L^{2}(\Omega )}$ m-dissipativ ist und somit eine stark stetige Operatorhalbgruppe erzeugt.