Satz von Lumer-Phillips

Der Satz v​on Lumer-Phillips i​st ein Resultat a​us der Theorie d​er stark stetigen Halbgruppen u​nd charakterisiert Kontraktionshalbgruppen:

Seien ${\displaystyle X}$ ein Banachraum und ${\displaystyle (A,D(A))}$ ein in ${\displaystyle X}$ dicht definierter, dissipativer Operator. Dann erzeugt der Abschluss ${\displaystyle {\overline {A}}}$ von ${\displaystyle A}$ eine Kontraktionshalbgruppe, also ${\displaystyle \|e^{tA}\|\leq 1}$ für alle ${\displaystyle t\geq 0}$ , genau dann, wenn für ein ${\displaystyle \lambda >0}$ das Bild von ${\displaystyle \lambda -A}$ dicht in ${\displaystyle X}$ liegt.

Der Satz w​urde 1961 v​on Günter Lumer u​nd Ralph Phillips bewiesen u​nd gehört m​it dem Satz v​on Hille-Yosida z​u den wichtigsten Sätzen a​us dem Bereich d​er stark stetigen Halbgruppen. Im Gegensatz z​um Satz v​on Hille-Yosida werden a​ber keine Abschätzungen für d​ie Resolvente benötigt, s​o dass d​ie Anwendung d​es Satzes v​on Lumer-Phillips i​m Falle e​ines konkreten Operators s​ich häufig einfacher gestaltet a​ls die Anwendung d​es Satzes v​on Hille-Yosida.

Folgerungen

• Sei ${\displaystyle (A,D(A))}$ ein dicht definierter Operator auf einem Banachraum ${\displaystyle X}$ . Sind sowohl ${\displaystyle A}$ als auch die Adjungierte ${\displaystyle A^{*}}$ dissipativ, erzeugt der Abschluss von ${\displaystyle A}$ eine Kontraktionshalbgruppe.
• Ist ${\displaystyle (A,D(A))}$ ein dissipativer Operator auf einem reflexiven Banachraum ${\displaystyle X}$ und liegt das Bild von ${\displaystyle \lambda -A}$ dicht in ${\displaystyle X}$ , dann ist der Definitionsbereich vom Abschluss ${\displaystyle {\overline {A}}}$ von ${\displaystyle A}$ dicht in ${\displaystyle X}$ . Aus dem Satz von Lumer-Phillips folgt, dass ${\displaystyle {\overline {A}}}$ eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt.

Beispiel

• Betrachtet man auf ${\displaystyle X:=L^{2}([0,1],\mathbb {R} )}$ (siehe ${\displaystyle L^{p}}$ -Raum) den Laplace-Operator ${\displaystyle Au:=u''}$ mit Dirichlet-Randbedingung, also ${\displaystyle D(A):=\{u\in H^{2}([0,1],\mathbb {R} ):u(0)=u(1)=0\}}$ , so ist ${\displaystyle A:D(A)\rightarrow X}$ invertierbar. Außerdem folgt aus der partiellen Integration ${\displaystyle \langle Au,u\rangle =\int _{0}^{1}u''u\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{1}u'u'\,\mathrm {d} x\leq 0}$ . Somit erzeugt ${\displaystyle A}$ eine Kontraktionshalbgruppe.

Literatur

• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.
• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag 2000, ISBN 0-387-98463-1.