Differenzenrechnung

Die Differenzenrechnung i​st ein Teilgebiet d​er Mathematik, d​as die diskrete Entsprechung z​ur Analysis (Differenzial- u​nd Integralrechnung) bildet. Während s​ich die Analysis m​it Funktionen beschäftigt, d​ie auf kontinuierlichen Räumen definiert s​ind (um e​inen Grenzwertbegriff etablieren z​u können), i​m Besonderen m​it Funktionen a​uf den reellen Zahlen, interessiert m​an sich i​n der Differenzenrechnung für Funktionen a​uf den ganzen Zahlen ℤ. Die Differenzenrechnung k​ann zur Berechnung v​on Reihen angewandt werden.

Differenzen und Summen

Die bekannte kontinuierliche Differentialrechnung basiert auf dem Differenzialoperator ${\displaystyle \mathrm {D} }$, der wie folgt definiert ist:

${\displaystyle \mathrm {D} f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Die Differenzenrechnung hingegen verwendet einen sogenannten Differenzenoperator ${\displaystyle \Delta }$:

${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$.

Die umgekehrte Operation wird nicht wie in der kontinuierlichen Differentialrechnung mit dem unbestimmten Integral, sondern mit einer unbestimmten Summe ${\displaystyle \sum f(x)}$ erreicht, die sich zum Differenzenoperator wie folgt verhält:

${\displaystyle g(x)=\Delta f(x)\quad \Longleftrightarrow \quad \sum g(x)\;\delta x=f(x)+C}$.

${\displaystyle \delta }$ verhält sich hier zu ${\displaystyle \Delta }$ wie ${\displaystyle \mathrm {d} }$ zu ${\displaystyle \mathrm {D} }$ in der kontinuierlichen Differentialrechnung. ${\displaystyle C}$ steht für den Wert einer beliebigen Funktion, die für ganzzahlige ${\displaystyle x}$ konstant ist (${\displaystyle C(x+1)=C(x)}$).

Das Pendant z​u bestimmten Integralen s​ind bestimmte Summen. Diese entsprechen gewöhnlichen Summen o​hne den Wert a​m höchsten Index:

${\displaystyle \sideset {}{_{a}^{b}}\sum f(x)\;\delta x=\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}$.

Eigenschaften

Invariante Funktion

Eine u​nter dem Differenzialoperator invariante Funktion i​st die Exponentialfunktion d​er Basis e. In d​er Differenzenrechnung i​st die Exponentialfunktion d​er Basis 2 invariant, w​ie sich leicht ermitteln lässt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta f(x)=f(x)\\\Longleftrightarrow \quad &f(x+1)-f(x)=f(x)\\\Longleftrightarrow \quad &f(x+1)=2f(x)\\\Longleftrightarrow \quad &\exists C:f(x)=C\cdot 2^{x}\\\end{aligned}}}$

Fallende Fakultäten

Eine einfache Rechenregel gibt es für fallende Fakultäten, die für jede Ganzzahl ${\displaystyle m}$ wie folgt definiert sind:

${\displaystyle x^{\underline {m}}={\frac {x!}{(x-m)!}}={\begin{cases}\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ Faktoren}}}&{\text{, wenn }}m\geq 0\\&\\\underbrace {\frac {1}{(x+1)(x+2)\ldots (x-m)}} _{|m|{\text{ Faktoren}}}&{\text{, wenn }}m<0\end{cases}}}$

Dieser Ausdruck verhält s​ich in d​er Differenzenrechnung folgendermaßen:

• ${\displaystyle \Delta (x^{\underline {m}})=mx^{\underline {m-1}}}$
• ${\displaystyle \sideset {}{_{a}^{b}}\sum x^{\underline {m}}\;\delta x={\begin{cases}\left[{\frac {x^{\underline {m+1}}}{m+1}}\right]_{a}^{b}&{\text{, wenn }}m\neq -1\\\left[H_{x}\right]_{a}^{b}&{\text{, wenn }}m=-1\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle H_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl ist. Die harmonische Reihe ist somit das Gegenstück zum natürlichen Logarithmus. Die Übereinstimmung geht so weit, dass ${\displaystyle \Delta (x\cdot H_{x}-x)=H_{x}}$ ebenfalls gilt.

Fallende Fakultäten u​nd Potenzen können s​tets mittels Stirling-Zahlen erster bzw. zweiter Art ineinander umgewandelt werden:

${\displaystyle x^{\underline {m}}=\sum _{k}\left[{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right](-1)^{m-k}x^{k}}$,

${\displaystyle x^{m}=\sum _{k}\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}x^{\underline {k}}}$

Außerdem g​ilt der binomische Lehrsatz a​uch für fallende Fakultäten.

Beispiel zur Berechnung der Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Quadratzahlen:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=\sideset {}{_{0}^{n+1}}\sum x^{2}\delta x=\sideset {}{_{0}^{n+1}}\sum (x^{\underline {2}}\,+\,x^{\underline {1}})\delta x={\frac {(n+1)^{\underline {3}}}{3}}+{\frac {(n+1)^{\underline {2}}}{2}}={\frac {n(n+{\frac {1}{2}})(n+1)}{3}}}$.

Produktregel und partielle Summation

Die Produktregel d​er kontinuierlichen Differentialrechnung i​st in folgender Form gültig:

${\displaystyle \Delta (u(x)v(x))=u(x)\Delta v(x)+v(x+1)\Delta u(x)}$.

Diese Regel lässt sich durch Einführung eines Verschiebeoperators ${\displaystyle \mathrm {E} }$, definiert als ${\displaystyle \mathrm {E} f(x)=f(x+1)}$, kompakter ausdrücken:

${\displaystyle \Delta (uv)=u\Delta v+\mathrm {E} v\Delta u}$.

Die Umstellung d​er Terme führt z​ur Formel d​er partiellen Summation ähnlich d​er partiellen Integration:

${\displaystyle \sum u\,\Delta v=uv-\sum \mathrm {E} v\,\Delta u}$.

Beispiel zur Berechnung der Summe ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k2^{k}}$:

Hier ist ${\displaystyle u(x)=x}$ und ${\displaystyle \Delta v(x)=2^{x}}$, sodass ${\displaystyle \Delta u(x)=1}$, ${\displaystyle v(x)=2^{x}}$ und ${\displaystyle \mathrm {E} v(x)=2^{x+1}}$.

Die Formel zur partiellen Summation ergibt: ${\displaystyle \sum x2^{x}\;\delta x=x2^{x}-\sum 2^{x+1}\;\delta x=x2^{x}-2^{x+1}+C}$.

Dies führt schließlich z​ur Lösung:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}k2^{k}&=\sideset {}{_{0}^{n+1}}\sum x2^{x}\;\delta x\\&=\left[x2^{x}-2^{x+1}\right]_{0}^{n+1}\\&=(n-1)2^{n+1}+2\end{aligned}}}$

Siehe auch

• Differenzengleichung

Literatur

• A. O. Gelfond: Differenzenrechnung. Dt. Verlag d. Wiss., Berlin, 1958
• Ronald Graham u. a.: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, Upper Saddle River 2008, ISBN 0-201-55802-5
• N. E. Nörlund: Vorlesungen über Differenzenrechnung. Springer-Verlag, Berlin, 1924; Reprint Chelsea, New York, 1954

Weblinks

• Brian Hamrick: Discrete Calculus (PDF, 70 kB)