Dichtheitssatz von Jacobson

Der Dichtheitssatz v​on Jacobson, benannt n​ach Nathan Jacobson, i​st ein mathematischer Satz a​us der Darstellungstheorie m​it Anwendungen i​n der Ringtheorie u​nd Gruppentheorie. Er w​urde erstmals 1945 v​on Jacobson bewiesen[1] u​nd stellt e​ine enge Beziehung zwischen gewissen Ringen u​nd Matrizenringen über Schiefkörpern her.

Definitionen

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement und ${\displaystyle M}$ ein Links-R-Modul. Ein solcher Modul heißt einfach, wenn er keine nicht-trivialen Untermoduln, das heißt neben ${\displaystyle \{0\}}$ und ${\displaystyle M}$ keine weiteren Untermoduln, enthält. Der Modul heißt treu, wenn ${\displaystyle rM=\{0\}}$ nur für ${\displaystyle r=0}$ gilt.

${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$ sei der Ring der R-Endomorphismen auf ${\displaystyle M}$. Dann wird ${\displaystyle M}$ durch die Definition

${\displaystyle \alpha \cdot m:=\alpha (m)}$   für   ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {End} _{R}(M),m\in M}$

zu einem ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-Modul und man kann von ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-linearen Abbildungen sprechen.

Die ${\displaystyle R}$-Linearität von Endomorphismen ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)}$ besagt gerade

${\displaystyle \alpha (rm)=r\alpha (m)}$   für alle   ${\displaystyle r\in R,m\in M,\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)}$.

Bezeichnet man mit ${\displaystyle \ell _{r}}$ die Linksmultiplikation mit ${\displaystyle r}$ auf ${\displaystyle M}$, so kann man obige Gleichung auch so lesen, dass jedes ${\displaystyle \ell _{r}}$ eine ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-lineare Abbildung ist. Beachte, dass die ${\displaystyle \ell _{r}}$ im Allgemeinen nicht ${\displaystyle R}$-linear sind, wenn ${\displaystyle R}$ nicht kommutativ ist.

Formulierung des Satzes

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement, ${\displaystyle M}$ ein einfacher, treuer Links-${\displaystyle R}$-Modul und ${\displaystyle \varphi }$ eine ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-lineare Abbildung.

Dann gibt es zu je endlich vielen ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}\in M}$ ein ${\displaystyle r\in R}$ mit ${\displaystyle \varphi (m_{i})=rm_{i}}$ für alle ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$.[2][3]

In Worten: Jede ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-lineare Abbildung verhält sich auf einer endlichen Menge wie die Linksmultiplikation mit einem Ringelement.

Bemerkungen

Wegen der Einfachheit des Links-${\displaystyle R}$-Moduls ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$ nach dem Lemma von Schur ein Schiefkörper. Für jedes ${\displaystyle m\in M}$ und ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {End} _{D}(M)}$ sei

${\displaystyle B(m,\varphi ):=\{\psi \in \mathrm {End} _{D}(M)\mid \varphi (m)=\psi (m)\}}$.

Dann bilden die ${\displaystyle B(m,\varphi )}$ die Subbasis einer Topologie auf ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$, die man die finite Topologie nennt.

In der Situation des Satzes ist ${\displaystyle \ell _{r}\in \mathrm {End} _{D}(M)}$ und wegen der Treue kann man ${\displaystyle r\in R}$ mit ${\displaystyle \ell _{r}}$ identifizieren. In diesem Sinne ist ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ und obiger Satz besagt gerade, dass ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ dicht liegt bezüglich der finiten Topologie.[4] Daher rührt der Name Dichtheitssatz.

Eine weitere Besonderheit liegt vor, wenn ${\displaystyle M}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle D}$-Vektorraum ist. Wählt man in obigem Satz eine Vektorraumbasis ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}\in M}$, so ist jeder Endomorphismus aus ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)\cong M_{n}(D)}$ bereits durch seine Werte auf den ${\displaystyle m_{i}}$ eindeutig bestimmt, und aus dem Dichtheitssatz von Jacobson ergibt sich ${\displaystyle R\cong M_{n}(D)}$.

Primitive Ringe

Ein Ring ${\displaystyle R}$ mit Einselement heißt primitiv, wenn er einen treuen, einfachen Modul hat.[5] Der Dichtheitssatz von Jacobson sagt zusammen mit obiger Bemerkung aus, dass es zu einem primitiven Ring ${\displaystyle R}$ einen Schiefkörper ${\displaystyle D}$ und einen ${\displaystyle D}$-Modul ${\displaystyle M}$ gibt, so dass ${\displaystyle R}$ dicht in ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$ liegt, denn der nach Definition existierende treue, einfache Modul leistet das Verlangte.

Diese Eigenschaft charakterisiert primitive Ringe, denn ist umgekehrt ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ dicht für einen Modul ${\displaystyle M}$ über einem Schiefkörper ${\displaystyle D}$, so ist ${\displaystyle M}$ als ${\displaystyle R}$-Modul treu, denn ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$, und wegen der Dichtheit auch einfach.

Diese Charakterisierung primitiver Ringe i​st letztlich nichts anderes a​ls eine alternative Formulierung d​es Dichtheitssatzes v​on Jacobson, m​an kann letzteren d​aher auch i​n dieser Form finden.[6] Jacobson formuliert d​en Satz i​n seinem Lehrbuch Basic Algebra zweimal, zunächst w​ie oben u​nd dann a​ls Charakterisierung primitiver Ringe u​nter dem Namen Density Theorem f​or Primitive Rings.[7]

Gruppendarstellungen

Als weiteres Anwendungsbeispiel zeigen w​ir einen a​uf Burnside zurückgehenden Satz.

• Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {GL} (\mathbb {C} ^{n})}$ eine n-dimensionale, irreduzible Darstellung über dem Körper der komplexen Zahlen. Dann gibt es ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n^{2}}\in G}$, so dass ${\displaystyle \rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n^{2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -linear unabhängig sind.

Wir betrachten die Gruppenalgebra ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ und die kanonische Erweiterung von ${\displaystyle \rho }$ zu einem ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\rightarrow \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$. Sei ${\displaystyle R={\tilde {\rho }}(\mathbb {C} [G])\subset \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$. Diese Definitionen machen ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ zu einem treuen ${\displaystyle R}$-Modul, der wegen der vorausgesetzten Irreduzibilität einfach ist. Es ist ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)=\mathbb {C} }$ nach dem Lemma von Schur zusammen mit der algebraischen Abgeschlossenheit von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Aus dem Dichheitssatz von Jacobson und nachfolgender Bemerkung folgt nun ${\displaystyle R=\mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$, das heißt der ${\displaystyle n^{2}}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraum ${\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$ wird als ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraum von den ${\displaystyle \rho (g),g\in G}$ erzeugt. Aus dem Basisauswahlsatz folgt nun die Behauptung.[8]

Diese Aussage kann für Zählargumente verwendet werden. Im unten angegebenen Lehrbuch von Derek J. S. Robinson wird ausgeführt, wie sich daraus ein Satz von Schur ergibt, wonach jede Torsionsgruppe in ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Q} )}$ endlich ist.[9]

Siehe auch

• Der Transitivitätssatz von Kadison ist eine analoge Dichtheitsaussage für irreduzible Darstellungen von C*-Algebren auf Hilberträumen.

Einzelnachweise

1. N. Jacobson: Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions, Transactions of the American Mathematical Society, Band 57, Nr. 2 (1945), Seiten 228–245
2. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.7: The Jacobson Density Theorem
3. I. Martin Isaacs: Algebra – A Graduate Course, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics (2009), Band 100, Theorem (13.14)
4. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.1.6 mit vorhergehender Erläuterung
5. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.1.1.
6. Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra, Springer-Verlag (1993), ISBN 978-0-387-94057-1, Theorem 5.2 (Jacobson Density Theorem)
7. N. Jacobson: Basic Algebra II, Dover Publications Inc. (1980), Kapitel 4.3: Density Theorems
8. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.8
9. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.11