Detailed Balance

Der Begriff Detailed Balance (detailliertes Gleichgewicht) bezeichnet e​ine Eigenschaft v​on homogenen Markow-Ketten, e​inem speziellen stochastischen Prozess. Anschaulich i​st ein Prozess i​m detaillierten Gleichgewicht, w​enn nicht erkennbar ist, o​b er s​ich zeitlich vorwärts o​der rückwärts bewegt.

Definition

Eine Markow-Kette mit möglichen Zuständen ${\displaystyle (X_{z})_{z\in \mathbb {Z} }}$ und einer Übergangsmatrix ${\displaystyle (w_{ij})}$, wobei ${\displaystyle w_{ij}}$ die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von Zustand ${\displaystyle X_{i}}$ zum Zustand ${\displaystyle X_{j}}$ bezeichnet (also die Übergangswahrscheinlichkeit), heißt reversibel bezüglich der Verteilung ${\displaystyle P}$, wenn

${\displaystyle P(X_{i})w_{ij}=P(X_{j})w_{ji}}$

für alle ${\displaystyle i,j}$ gilt. Eine Markow-Kette heißt reversibel, wenn sie eine Verteilung besitzt, bezüglich derer sie reversibel ist.

Die o​bige Gleichung i​st die Bedingung d​es detaillierten Gleichgewichts. Ist s​ie erfüllt, s​o ist d​as System, d​as durch d​en Markow-Prozess beschrieben wird, i​m detaillierten Gleichgewicht o​der der detaillierten Balance.

Eigenschaften

• Der Metropolisalgorithmus ist ein Beispiel für einen stochastischen Prozess, der die Eigenschaft der Detailed Balance erfüllt. Er wird in Monte-Carlo-Simulationen dazu genutzt, Zustände eines Systems aus vorhergehenden Zuständen gemäß einer Übergangswahrscheinlichkeit zu erzeugen.
• Für stationäre Markow-Ketten ${\displaystyle (X_{z})_{z\in \mathbb {Z} }}$ mit Übergangsmatrix ${\displaystyle (w_{ij})}$ (also insbesondere für diejenigen Ketten, die in einer stationären Verteilung starten) ist diese Eigenschaft äquivalent zur zeitlichen Reversibilität, das heißt für den zeitumgekehrten Prozess ${\displaystyle {\tilde {X}}_{z}:=X_{-z}}$ gilt für alle ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}})\sim (X_{-t_{1}},\dots ,X_{-t_{n}})\,.}$, d. h. ${\displaystyle X_{t_{1},...}}$ sind verteilt wie ${\displaystyle X_{-t_{1},...}}$

Für jede Realisierung ist also gleichgültig, in welcher Richtung sie durchlaufen wird.

• Jede Verteilung, welche die Detailed-Balance-Bedingung erfüllt, ist eine stationäre Verteilung. Das folgt, direkt aus der Mastergleichung ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{\ell \neq k}(w_{k\ell }P_{\ell }-w_{\ell k}P_{k})=0}$.

Die Konvergenz einer beliebigen Verteilung gegen die stationäre Verteilung ist daraus aber nicht gegeben. Ein hinreichendes Kriterium dafür liefert zum Beispiel der Ergodensatz.

Siehe auch

• Gibbs-Sampling

Literatur

• G. Bhanot, The Metropolis algorithm, Rep. Prog. Phys. 51 (1988) 429
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
• Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 5. Auflage, de Gruyter 2015