Cohen-Macaulay-Ring

Im mathematischen Teilgebiet d​er kommutativen Algebra versteht m​an unter e​inem Cohen-Macaulay-Ring e​inen noetherschen Ring, d​er nicht m​ehr unbedingt regulär ist, dessen Tiefe a​ber gleich seiner Krulldimension ist. Eine Cohen-Macaulay-Singularität i​st eine Singularität, d​eren lokaler Ring e​in Cohen-Macaulay-Ring ist. Benannt wurden d​ie Ringe n​ach Irvin Cohen u​nd Francis Macaulay.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente a​uf Einselemente ab. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Definitionen

Reguläre Folge

Wenn ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist, so wird ein Element ${\displaystyle a\in R}$ regulär genannt, wenn aus ${\displaystyle a\cdot x=0}$ für ein ${\displaystyle x\in M}$ stets ${\displaystyle x=0}$ folgt.

Eine Folge ${\displaystyle \{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}}$ von Elementen aus ${\displaystyle R}$ heißt ${\displaystyle M}$-reguläre Folge, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle M\neq (a_{1},\dotsc ,a_{n})M}$
• Für ${\displaystyle i<m}$ ist das Bild von ${\displaystyle a_{i+1}}$ kein Nullteiler in ${\displaystyle M/(a_{1},\dotsc ,a_{i})M}$

Tiefe eines Moduls

Wenn ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist, so ist die Tiefe ${\displaystyle \mathrm {t} (M)}$ von ${\displaystyle M}$ die Mächtigkeit einer maximalen ${\displaystyle M}$-regulären Folge von Elementen aus ${\displaystyle R}$.

Dimension eines Moduls

Die Dimension ${\displaystyle \mathrm {dim} (M)}$ eines Moduls ${\displaystyle M}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist definiert als die Krulldimension von ${\displaystyle R/\mathrm {Ann} (M)}$. (${\displaystyle \mathrm {Ann} (M)}$ ist der Annihilator von M.)

Ist ${\displaystyle M}$ ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschen Ring, so gilt:

${\displaystyle \mathrm {dim} (M)=\mathrm {max} \{\mathrm {dim} (R/p)|p\in \mathrm {Ass} (M)\}=\mathrm {max} \{\mathrm {dim} (R/p)|p\in \mathrm {Supp} (M)\}}$

(Zur Notation: ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$ bezeichnet die Menge der zu ${\displaystyle M}$ assoziierten Primideale, ${\displaystyle \mathrm {Supp} (M)}$ den Träger des Moduls.)

Für einen endlich erzeugten Modul ${\displaystyle M}$ über einem noetherschen lokalen Ring ${\displaystyle R}$ gilt sogar:

${\displaystyle \mathrm {t} (M_{m})\leq \mathrm {min} \{\mathrm {dim} (R/p)|p\in \mathrm {Ass} (M)\}\leq \mathrm {dim} (M)}$

Cohen-Macaulay

Ein endlich erzeugter Modul ${\displaystyle M}$ über einem noetherschen Ring ${\displaystyle R}$ heißt Cohen-Macaulay-Modul, wenn für alle maximalen Ideale ${\displaystyle m}$ von ${\displaystyle R}$ gilt:

${\displaystyle \mathrm {t} (M_{m})=\mathrm {dim} (M_{m})}$

${\displaystyle R}$ heißt Cohen-Macaulay-Ring, wenn ${\displaystyle R}$ als ${\displaystyle R}$-Modul ein Cohen-Macaulay-Modul ist.

Cohen-Macaulay-Ringe

• Jede Lokalisierung eines Cohen-Macaulay-Rings ist ein Cohen-Macaulay Ring.
• Jeder 0-dimensionale noethersche Ring ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
• Jeder reduzierte noetherscher eindimensionaler Ring ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
• Jeder reguläre noethersche Ring ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
• Jeder Gorensteinring ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
• Jeder Cohen-Macaulay-Ring ist ein Kettenring.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, so wird die Varietät, die aus der X-Achse und der Y-Achse besteht, durch den Koordinatenring ${\displaystyle K[x,y]/(x\cdot y)}$ beschrieben.

Der Schnittpunkt wird durch den Ring

${\displaystyle R=(K[x,y]/(x\cdot y))_{(x,y)}}$

beschrieben. Er ist eine Singularität, denn ${\displaystyle R}$ ist eindimensional, aber das maximale Ideal von ${\displaystyle R}$ kann nur durch zwei Elemente erzeugt werden. Andererseits ist ${\displaystyle R}$ ein Cohen-Macaulay-Ring (sogar Gorenstein), da das maximale Ideal nicht nur Nullteiler enthält.

• Eine kompliziertere Singularität besteht im Ring

${\displaystyle K[x,y]/(x^{2},x\cdot y)}$

Der zu der Singularität gehörige lokale Ring

${\displaystyle (K[x,y]/(x^{2},x\cdot y))_{(x,y)}}$

ist kein Cohen-Macaulay-Ring. Er ist eindimensional, aber das maximale Ideal besteht nur aus Nullteilern, es gibt also keine reguläre Folge.

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6.
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-201-00361-9.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/ Berlin/ Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9.
• W. Bruns, J. Herzog: Cohen-Macaulay Rings. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-56674-6.