Gorensteinring

Ein Gorensteinring i​st ein Ring, d​er in d​er kommutativen Algebra, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, untersucht wird. Ein Gorensteinring i​st ein Cohen-Macaulay-Ring m​it bestimmten zusätzlichen Eigenschaften. Eine Gorensteinsingularität i​st eine Singularität, d​eren lokaler Ring e​in Gorensteinring ist.

Benannt wurden d​ie Ringe n​ach Daniel Gorenstein, obwohl dieser i​mmer behauptete, n​icht einmal d​ie Definition z​u verstehen.[1]

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente a​uf Einselemente ab. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Definition

Ist ${\displaystyle R}$ ein noetherscher lokaler ${\displaystyle d}$-dimensionaler Ring mit maximalem Ideal ${\displaystyle m}$, so nennt man eine Menge ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{d}\}}$ ein Parametersystem von ${\displaystyle R}$, wenn diese Menge ein ${\displaystyle m}$- primäres Ideal erzeugt. (Man kann zeigen, dass ein noetherscher lokaler Ring immer ein Parametersystem besitzt.)

Ist

${\displaystyle R}$ ein lokaler Cohen-Macaulay-Ring mit maximalem Ideal ${\displaystyle m}$,

${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$ ein Parametersystem und

${\displaystyle q=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ das entsprechende ${\displaystyle m}$-primäre Ideal,

so i​st die Zahl

${\displaystyle r:=\mathrm {dim} _{R/m}\{{\bar {r}}\in R/q|m\cdot r=0\}}$

unabhängig v​om gewählten Parametersystem.

Diese Zahl ${\displaystyle r}$ wird der Typ von ${\displaystyle R}$ genannt.

Ein lokaler Gorensteinring i​st ein Cohen-Macaulay-Ring v​om Typ 1.

Einen noetherscher Ring R n​ennt man Gorensteinring, w​enn alle s​eine Lokalisierungen v​on maximalen Idealen lokale Gorensteinringe sind.

(Diese Definition f​olgt Kunz 1980. Häufig w​ird ein Gorensteinring über d​ie injektive Dimension definiert, s​iehe unten.)

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle R}$ ein lokaler Cohen-Macaulay-Ring so ist ${\displaystyle R}$ genau dann ein Gorensteinring, wenn das von einem Parametersystem erzeugte Ideal irreduzibel ist.
• Ein lokaler noetherscher Ring ist genau dann ein Gorensteinring, wenn seine injektive Dimension endlich ist.
• Jeder lokale Ring, der vollständiger Durchschnitt ist, ist ein Gorensteinring. Insbesondere ist jeder reguläre lokale Ring ein Gorensteinring.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, so wird die Varietät, die aus der X-Achse und der Y-Achse besteht, durch den Koordinatenring ${\displaystyle K[X,Z]/(XY)}$ beschrieben.

Der Schnittpunkt wird durch den Ring

${\displaystyle R=(K[X,Y]/(XY))_{(X,Y)}}$

beschrieben. Er ist eine Singularität, denn ${\displaystyle R}$ ist eindimensional, aber das maximale Ideal von ${\displaystyle R}$ kann nur durch zwei Elemente erzeugt werden. Andererseits ist ${\displaystyle R}$ ein Gorensteinring, da jedes im maximalen Ideal enthaltene reguläre Element eine irrduzible Untervarietät erzeugt.

• Der Ring ${\displaystyle K[X,Y]/(X^{2},Y^{2},X\cdot Y)}$ ist ein ${\displaystyle 0}$-dimensionaler lokaler Ring. Er ist daher Cohen-Macaulay. Er ist aber nicht Gorenstein, da das Nullideal zwar ${\displaystyle m}$-primär, aber nicht irreduzibel ist, da es der Schnitt der Ideale ${\displaystyle (X)}$ und ${\displaystyle (Y)}$ ist.

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6.
• Michael Francis Atiyah, Ian Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-201-00361-9.
• Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: Kommutative Algebra. Bibliographisches Institut, 1989, ISBN 3-411-14041-0.
• Hideyuki Matsumura: Commutative algebra. Cummings, 1980, ISBN 0-8053-7026-9.

Einzelnachweise

1. D. Eisenbud: Commutative Algebra. Springer, 2004, ISBN 0-387-94269-6, S. 530.