Kettenring

In d​er kommutativen Algebra w​ird ein Ring Kettenring o​der ein katenärer Ring genannt, w​enn nicht verfeinerbare Primidealketten zweier ineinanderliegenden Primideale i​mmer dieselbe Länge haben. Katenäre Ringe h​aben einfache dimensionstheoretische Eigenschaften.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente a​uf Einselemente ab. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Definition

Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring, so ist eine Primidealkette eine Folge von Primidealen (${\displaystyle p_{i}\subset R}$):

${\displaystyle p_{0}\subsetneq p_{1}\dots \subsetneq p_{n}}$

Die Länge dieser Primidealkette ist ${\displaystyle n}$. Eine solche Primidealkette wird nicht mehr verfeinerbare Kette genannt, wenn es kein Primideal ${\displaystyle p_{i}\neq q\subset R}$ gibt, sodass

${\displaystyle p_{0}\subsetneq \dots \subsetneq q\subsetneq \dots \subsetneq p_{n}}$

eine Primidealkette ist.

Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring, so wird ${\displaystyle R}$ katenär oder auch ein Kettenring genannt, wenn für alle Primideale ${\displaystyle p\subsetneq q\subset R}$ gilt, dass alle nicht verfeinerbaren Primidealketten, die mit ${\displaystyle p}$ anfangen und mit ${\displaystyle q}$ aufhören, dieselbe Länge haben.

Eigenschaften

• Ist ein noetherscher Ring katenär, dann auch jeder Restklassenring und jede Lokalisierung.
• Katenär ist eine lokale Eigenschaft: Ein noetherscher Ring ${\displaystyle R}$ ist genau dann katenär, wenn für jedes maximale Ideal ${\displaystyle m\subset R}$ der Ring ${\displaystyle R_{m}}$ katenär ist.
• Wenn ${\displaystyle R}$ noethersch, katenär und nullteilerfrei ist und außerdem alle maximalen Ideale von ${\displaystyle R}$ dieselbe Höhe haben (z. B. ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$, s. u.), dann hat auch jeder Restklassenring ${\displaystyle A}$ nach einem Primideal von ${\displaystyle R}$ diese Eigenschaft. Für jedes Primideal ${\displaystyle p\subset A}$ gilt dann:

${\displaystyle \mathrm {ht} (p)+\mathrm {dim} (A/p)=\mathrm {dim} A}$.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, so ist der Ring ${\displaystyle K[X_{1},\dotsc X_{n}]}$ katenär.
• Jeder Cohen-Macaulay-Ring, insbesondere jeder reguläre Ring, ist katenär.

Literatur

• H. Matsumura, Commutative algebra, 1980, ISBN 0-8053-7026-9.
• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411