Clawson-Punkt

Der Clawson-Punkt i​n einem Dreieck i​st einer d​er ausgezeichneten Punkte d​es Dreiecks. Er k​ann auf folgende z​wei Arten konstruiert werden u​nd hat d​ie Kimberling-Nummer X(19).[1] Der Punkt w​urde nach John Wentworth Clawson benannt u​nd 1886 v​on Émile Lemoine untersucht.[2]

Ähnlichkeitszentrum des Höhenfußpunktdreiecks (rot) und des rot gezeichneten Dreiecks, das von den (äußeren) gemeinsamen Tangenten der Ankreise gebildet wird (siehe gestrichelte Linien)

Definition

Für ein beliebiges Dreieck ${\displaystyle ABC}$ mit Winkeln ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ in den Punkten ${\displaystyle A,B,C}$ ist der Clawson-Punkt definiert als der Punkt mit den trilinearen Koordinaten ${\displaystyle \tan(\alpha ):\tan(\beta ):\tan(\gamma )}$.[3][4]

Erste Konstruktion

Konstruiere zum gegebenen Dreieck ${\displaystyle ABC}$ das Höhenfußpunktdreieck ${\displaystyle H_{a}H_{b}H_{c}}$ (siehe nebenstehende Zeichnung) und das von den gemeinsamen äußeren Tangenten von jeweils zwei der drei Ankreise gebildete Dreieck ${\displaystyle T_{a}T_{b}T_{c}}$. Man kann zeigen, dass diese beiden Dreiecke paarweise parallele Seiten haben und sich daher die Geraden (gestrichelt in nebenstehender Zeichnung) durch die entsprechenden Eckpunkte dieser beiden ähnlichen Dreiecke in einem Punkt, im sogenannten Ähnlichkeitszentrum, schneiden. Dieser Punkt heißt der Clawson-Punkt.[3]

Zweite Konstruktion

Clawson-Punkt als Perspektivitätszentrum des Dreiecks ABC (braun) und des blau dargestellten Dreiecks, das von den gemeinsamen Sehnen von jeweils einem Ankreis und dem Umkreis begrenzt wird (siehe gestrichelte Linien).

Konstruiere zum gegebenen Dreieck ABC den Umkreis und die Ankreise. Jeder Ankreis schneidet den Umkreis in zwei Punkten, die damit jeweils eine Sehne festlegen. Die Verlängerungen dieser Sehnen bilden ein Dreieck ${\displaystyle A'B'C'}$ (blau in nebenstehender Zeichnung), wobei ${\displaystyle A'}$ der Schnittpunkt der Sehnenverlängerungen der Ankreise an den Seiten mit Endpunkt ${\displaystyle A}$ ist, und entsprechend ${\displaystyle B'}$ und ${\displaystyle C'}$. Man kann zeigen, dass sich die Geraden ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ und ${\displaystyle CC'}$ (rot gestrichelt in nebenstehender Zeichnung) in einem Punkt schneiden. Man sagt in dieser Situation auch, dass die beiden Dreiecke perspektivisch liegen mit dem Schnittpunkt als "Perspektivitätszentrum". Dieser Punkt ist der Clawson-Punkt, das heißt, man kann nachweisen, dass er mit dem Punkt der ersten Konstruktion übereinstimmt.[2]

Baryzentrische Koordinaten

Die baryzentrischen Koordinaten d​es Clawson-Punkts sind

${\displaystyle \left({\frac {a}{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}}:{\frac {b}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}:{\frac {c}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ wie üblich die Längen der Dreiecksseiten gegenüber den Eckpunkten ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ bezeichnen.

Literatur

• Émile Lemoine: Quelques questions se rapportant à l'étude des antiparallèles des côtés d'un triangle. In: Bulletin de la Société Mathématique de France, Band 14 (1886), S. 107–128, insbesondere 114 (Digitalisat bei Nundam)
• J. W. Clawson, Michael Goldberg: problem 3132. In: The American Mathematical Monthly, Band 33, Nr. 5, 1926, S. 285–285. (JSTOR)
• Clark Kimberling: Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle. In: Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3, 1994, S. 163–187, insbesondere 125. (JSTOR).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Clawson Point. In: MathWorld (englisch).
• X(19)=CLAWSON POINT und CLAWSON POINT in der Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)
• LE POINT CLAWSON PAR LES TRIANGLES ORTHIQUES ET EXTANGENT
• Clawson Point: Orthic Triangle, Extangents Triangle, Homothecy or Homothety

Einzelnachweise

1. Antreas P. Hatzipolakis, Paul Yiu: Reflections in Triangle Geometry. In: Forum Geometricorum. Band 9, 2009, S. 301–348 (englisch, fau.edu).
2. Clark Kimberling: X(19)=CLAWSON POINT in der Encyclopedia of Triangle Centers (abgerufen 2019-11-30)
3. Clark Kimberling: CLAWSON POINT. In: Encyclopedia of Triangle Centers (abgerufen 2019-11-30)
4. J. W. Clawson, Michael Goldberg: problem 3132. In: The American Mathematical Monthly, Band 33, Nr. 5, 1926, S. 285–285. (JSTOR)