Chintschin-Integral

Das Chintschin-Integral (engl. Khinchin integral) i​st ein Integralbegriff, d​er die Riemann u​nd Lebesgue-Integrale verallgemeinert. Das Integral i​st nach Alexander Chintschin benannt u​nd wird manchmal a​uch als Denjoy-Chintschin-Integral, verallgemeinertes Denjoy-Integral o​der breites Denjoy-Integral bezeichnet.

Die Definition d​es Chintschin-Integral ähnelt s​ehr der d​es Denjoy-Integrals, allerdings benötigt ersteres n​ur eine approximative Differenzierbarkeit d​er Stammfunktion.

Einleitung

Verallgemeinerte absolute Stetigkeit:

Eine Funktion ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ist verallgemeinert-absolut-stetig (engl. generalized absolutely continuous) auf ${\displaystyle E\subseteq [a,b]}$, falls ${\displaystyle E}$ sich als abzählbare Vereinigung schreiben lässt ${\displaystyle \textstyle E=\bigcup _{i\in I}E_{i}}$, wobei ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle E}$ stetig ist und auf ${\displaystyle \{E_{i}\}_{i\in I}}$ absolut-stetig.[1]

Punkt e​iner Dichte:

Sei ${\displaystyle E}$ eine messbare Menge und ${\displaystyle c}$ ein reelle Zahl. Die Dichte von ${\displaystyle E}$ in ${\displaystyle c}$ ist definiert als der Grenzwert

${\displaystyle d_{c}E=\lim \limits _{h\to 0^{+}}{\frac {\mu (E\cap (c-h,c+h))}{2h}}}$

sofern dieser existiert und ${\displaystyle c}$ ist genau dann ein Punkt der Dichte (engl. point of density), wenn ${\displaystyle d_{c}E=1}$ (${\displaystyle \mu }$ bezeichnet das Lebesgue-Maß).

Die Menge aller Punkte der Dichte von ${\displaystyle E}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle E^{d}}$.[2]

Approximative Stetigkeit:

Sei ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle c\in [a,b]}$. Dann ist ${\displaystyle f}$ approximativ-stetig in ${\displaystyle c}$, falls eine messbare Menge ${\displaystyle E\subseteq [a,b]}$ existiert, so dass ${\displaystyle c\in E^{d}}$ und ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle E}$ in ${\displaystyle c}$ stetig ist.[3]

Approximative Differenzierbarkeit

Sei ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle c\in [a,b]}$. ${\displaystyle F}$ ist approximativ-differenzierbar in ${\displaystyle c}$, falls eine messbare Menge ${\displaystyle E\subseteq [a,b]}$ existiert, so dass ${\displaystyle c\in E^{d}}$ und ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle E}$ in ${\displaystyle c}$ differenzierbar ist. Die approximative Ableitung (engl. approximate derivative) bezeichnen wir mit ${\displaystyle F'_{ap}}$.[4]

Definition

Eine Funktion ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ist Chintschin-integrierbar auf ${\displaystyle [a,b]}$, falls eine verallgemeinert-absolut-stetige Funktion ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$ existiert, so dass ${\displaystyle F'_{ap}=f}$ fast überall auf ${\displaystyle [a,b]}$. Das Chintschin-Integral ${\displaystyle I_{\mathcal {K}}}$ ist dann

${\displaystyle I_{\mathcal {K}}(f)=F(b)-F(a)}$.[5]

Einzelnachweise

1. Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 90.
2. Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 223.
3. Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 225.
4. Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 229.
5. Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 237.