Cauchyscher Hauptwert

Als cauchyschen Hauptwert (nach Augustin-Louis Cauchy) bezeichnet m​an im mathematischen Teilgebiet d​er Analysis d​en Wert, d​en man e​inem divergenten Integral zuordnen kann, w​enn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben.

Definition

Der cauchysche Hauptwert i​st ein Wert, d​en man gewissen divergenten Integralen zuordnen kann. Es g​ibt zwei unterschiedliche Fälle, i​n denen m​an von e​inem cauchyschen Hauptwert spricht.

• Seien ${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty }$ und ${\displaystyle c\in {]a,b[}}$ eine reelle Zahl. Die Funktion ${\displaystyle f\colon {]a,c[}\cup {]c,b[}\to \mathbb {R} }$ sei Riemann-integrierbar. Existiert dann der Grenzwert

${\displaystyle \operatorname {CH} \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int _{a}^{c-\epsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c+\epsilon }^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right)\,,}$

so nennt man ${\displaystyle \operatorname {CH} \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ den cauchyschen Hauptwert.[1]

• Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion, dann heißt der Grenzwert, falls er existiert,

${\displaystyle \operatorname {CH} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{R\rightarrow \infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,\mathrm {d} x}$

ebenfalls cauchyscher Hauptwert.[2]

Es i​st auch gebräuchlich, „V.P.“ (aus d​em Franz. valeur principale) o​der „P.V.“ (aus d​em Engl. principal value) anstatt „CH“ z​u schreiben.[3]

Beziehung zwischen cauchyschem Hauptwert und uneigentlichem Integral

Existiert ein Integral über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ im uneigentlichen Sinn, so existiert auch immer der cauchysche Hauptwert (nach der zweiten Definition) und diese beiden Werte stimmen überein. Aus der Existenz des cauchyschen Hauptwertes folgt hingegen noch nicht die Existenz des uneigentlichen Integrals.[4]

Beispiel (CH 1/x)

cauchyscher Hauptwert – Beispiel

Es wird das bestimmte Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}$ untersucht. Der Integrand ist für ${\displaystyle x=0}$ (ein innerer Punkt des Integrationsbereichs ${\displaystyle ]-1,1[}$) nicht definiert. Damit ist dieses Integral uneigentlich in . Die Stammfunktion des Integranden ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ ist ${\displaystyle \ln \left|x\right|}$ (siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=&\int _{-1}^{0}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x={\Big [}\ln \left|x\right|{\Big ]}_{x=-1}^{0}+{\Big [}\ln \left|x\right|{\Big ]}_{x=0}^{1}\\=&\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\ln \left|x\right|-\ln \left|-1\right|+\ln \left|1\right|-\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\ln \left|x\right|=-\infty -\left(-\infty \right)\end{aligned}}}$

Dieses Integral existiert a​lso nicht a​ls uneigentliches Riemann-Integral, d​er cauchysche Hauptwert beträgt jedoch :

${\displaystyle \operatorname {CH} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int _{-1}^{0-\epsilon }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{0+\epsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\right)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}(\ln(\epsilon )-\ln(\epsilon ))=0}$

Der Cauchy-Hauptwert ermöglicht e​s also, e​inem Integral e​inen Wert zuzuordnen, d​as weder i​m riemannschen Sinn n​och im lebesgueschen Sinn existiert.

Wenn ${\displaystyle f}$ auf der reellen Achse stetig und nur auf einem beschränkten Intervall von null verschieden ist, existiert also insbesondere der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle \operatorname {CH} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x){\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}$. Das heißt, dass ${\displaystyle \operatorname {CH} {\tfrac {1}{x}}}$ wie die Delta-Distribution auch als Distribution verstanden werden kann.

Substitution i. Allg. nicht erlaubt

Der Hauptwert eines Integrals bleibt jedoch im Allgemeinen nicht unter Substitution invariant. Wenn man etwa die Funktion ${\displaystyle \varphi }$ durch ${\displaystyle \varphi (x)=x^{3}}$ für ${\displaystyle x\leq 0}$ und ${\displaystyle \varphi (x)=x^{2}}$ für ${\displaystyle x\geq 0}$ definiert, so gilt zwar nach der Substitutionsregel

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\frac {1}{\varphi (x)}}\varphi '(x)\,\mathrm {d} x}$

wann immer ${\displaystyle 0<a\leq b}$ oder ${\displaystyle a\leq b<0}$ gilt. Für ${\displaystyle a<0<b}$ ist jedoch der Hauptwert des linken Integrals eine endliche Zahl, der Hauptwert des rechten Integrals ist aber ${\displaystyle -\infty }$:

${\displaystyle \operatorname {CH} \int _{a^{3}}^{b^{2}}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=\ln {\biggl |}{\frac {b^{2}}{a^{3}}}{\biggr |}}$

${\displaystyle \operatorname {CH} \int _{a}^{b}{\frac {\varphi '(x)}{\varphi (x)}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0+}{\biggl (}\int _{a}^{-\varepsilon }{\frac {3x^{2}}{x^{3}}}\,\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{b}{\frac {2x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x{\biggr )}=\lim _{\varepsilon \to 0+}{\biggl (}\ln {\biggl |}{\frac {b^{2}}{a^{3}}}{\biggr |}+\ln \varepsilon {\biggr )}=-\infty }$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cauchy Principal Value. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Klaus Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen. 1. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3827419492, S. 155.
2. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177.
3. Cauchyscher Hauptwert. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
4. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177–178.