Casimirs Trick

Casimirs Trick, n​ach dem niederländischen Physiker Hendrik Casimir benannt, i​st ein Verfahren z​ur einfachen Berechnung v​on Spin-gemittelten quadrierten Matrixelementen i​n Quantenfeldtheorien.

Allgemeines

Ein in den Quantenfeldtheorien häufig vorkommender Ausdruck ist das Matrixelement der S-Matrix ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, welche den Übergang von einem anfänglichen Zustand in einen Endzustand beschreibt. Dieses Matrixelement kann mithilfe von Feynman-Diagrammen graphisch dargestellt und in einen rigorosen mathematischen Ausdruck übersetzt werden. Sind Fermionen, also Teilchen mit einem Spin von ${\displaystyle 1/2}$ beteiligt, so treten in den Berechnungen der Matrixelemente Dirac-Spinoren, also vierkomponentige Vektoren mit zusätzlichen Spin-Indizes auf.

Eine lorentzinvariante, skalare Größe ist das quadrierte Matrixelement ${\displaystyle \left|{\mathcal {M}}\right|^{2}={\mathcal {M}}^{*}{\mathcal {M}}}$, welches im Allgemeinen komplexe Ausdrücke aus Produkten von Dirac-Spinoren enthält. Ist man in der Rechnung jedoch nur an einem über alle möglichen Spin-Einstellungen gemittelten Matrixelement interessiert, lässt sich das Matrixelement mithilfe von Casimirs Trick in ein Produkt aus Spuren über Dirac-Matrizen überführen, die auf Basis der Dirac-Algebra einfach ausgeführt werden können.

Details

Bezeichnen ${\displaystyle u(k),[{\bar {v}}(k)]}$ die Spinoren für einlaufende [Anti-]Teilchen in Feynman-Diagrammen und ${\displaystyle {\bar {u}}(k)[v(k)]}$ Spinoren für auslaufende [Anti-]Teilchen, so gilt:

${\displaystyle \sum _{s_{1},s_{2}}\left[{\bar {v}}^{s_{1}}(k)\Gamma u^{s_{2}}(p)\right]\,\left[{\bar {v}}^{s_{1}}(k)\Gamma 'u^{s_{2}}(p)\right]^{*}={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }+m_{2}\right){\bar {\Gamma }}'\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }-m_{1}\right)\right]}$

${\displaystyle \sum _{s_{1},s_{2}}\left[{\bar {u}}^{s_{1}}(k)\Gamma v^{s_{2}}(p)\right]\,\left[{\bar {u}}^{s_{1}}(k)\Gamma 'v^{s_{2}}(p)\right]^{*}={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }-m_{2}\right){\bar {\Gamma }}'\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }+m_{1}\right)\right]}$

${\displaystyle \sum _{s_{1},s_{2}}\left[{\bar {v}}^{s_{1}}(k)\Gamma v^{s_{2}}(p)\right]\,\left[{\bar {v}}^{s_{1}}(k)\Gamma 'v^{s_{2}}(p)\right]^{*}={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }-m_{2}\right){\bar {\Gamma }}'\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }-m_{1}\right)\right]}$

${\displaystyle \sum _{s_{1},s_{2}}\left[{\bar {u}}^{s_{1}}(k)\Gamma u^{s_{2}}(p)\right]\,\left[{\bar {u}}^{s_{1}}(k)\Gamma 'u^{s_{2}}(p)\right]^{*}={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }+m_{2}\right){\bar {\Gamma }}'\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }+m_{1}\right)\right]}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma }$ eine beliebige ${\displaystyle 4\times 4}$-Matrix, ${\displaystyle \gamma }$ die Dirac-Matrizen und ein Überstrich die Dirac-Adjungierte ${\displaystyle {\bar {\Gamma }}=\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}}$. ${\displaystyle m_{i}}$ bezeichne die Massen der jeweiligen Teilchen/Antiteilchen, wobei der Index ${\displaystyle i}$ der gleiche wie bei der Zuordnung der Spins ist.

Mathematischer Hintergrund

Die Dirac-Spinoren lassen sich in zwei unabhängige Spinoren ${\displaystyle u}$ für Teilchen und ${\displaystyle v}$ für Antiteilchen zerlegen. Diese erfüllen jeweils eine Vollständigkeitsrelation

${\displaystyle \sum _{\text{Spins}}u(p){\bar {u}}(p)=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}$

${\displaystyle \sum _{\text{Spins}}v(k){\bar {v}}(k)=\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m}$.

Im Matrixelement kommen typische Ausdrücke wie zum Beispiel ${\displaystyle {\mathcal {M}}\propto {\bar {v}}(k)\Gamma u(p)}$ vor. Das quadrierte Matrixelement lautet also:

${\displaystyle \left|{\mathcal {M}}\right|^{2}\propto \left[{\bar {v}}(k)\Gamma u(p)\right]\,\left[{\bar {v}}(k)\Gamma u(p)\right]^{*}={\bar {v}}(k)\Gamma u(p)\,{\bar {u}}(p){\bar {\Gamma }}v(k)}$

Wenn über die Spin-Indizes summiert wird, so kann zuerst im mittleren Paar der Dirac-Spinoren die Vollständigkeitsrelation angewandt werden. Es ist im Folgenden zweckmäßig, die Spin-, Spinor- und Raumzeit-Indizes aus Gründen der Nachvollziehbarkeit nicht zu unterdrücken, wobei ${\displaystyle s_{1},s_{2}}$ über die Spins, ${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\sigma }$ über die vier Komponenten der Spinoren und ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ über die vier Dirac-Matrizen (Raumzeit-Indizes) summieren:

${\displaystyle \sum _{s_{1},s_{2}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}\propto \sum _{s_{1},s_{2}}{\bar {v}}_{\mu }^{s_{1}}(k)\Gamma ^{\mu \nu }u_{\nu }^{s_{2}}(p){\bar {u}}_{\rho }^{s_{2}}(p){\bar {\Gamma }}^{\rho \sigma }v_{\sigma }^{s_{1}}(k)=\sum _{s_{1}}{\bar {v}}_{\mu }^{s_{1}}(k)\Gamma ^{\mu \nu }\left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }+m_{2}\right)_{\nu \rho }{\bar {\Gamma }}^{\rho \sigma }v_{\sigma }^{s_{1}}(k)}$.

In Komponentenschreibweise ist offensichtlicher, dass die Summation über ${\displaystyle s_{1}}$ einfach vollzogen werden kann, da alle Objekte nun kommutieren; es gilt somit

${\displaystyle \sum _{s_{1},s_{2}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}\propto \Gamma ^{\mu \nu }\left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }+m_{2}\right)_{\nu \rho }{\bar {\Gamma }}^{\rho \sigma }\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }-m_{1}\right)_{\sigma \mu }={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }+m_{2}\right){\bar {\Gamma }}\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }-m_{1}\right)\right]}$

Für d​ie anderen d​rei Fälle läuft d​er Beweis analog.

Beispiel: Elektron-Myon-Streuung

Bezeichnen ${\displaystyle p[p']}$ den Impuls des ein[aus]laufenden Elektrons und ${\displaystyle k[k']}$ den des ein[aus]laufenden Myons, so lautet das Matrixelement der Elektron-Myon-Streuung ${\displaystyle e^{-}\mu ^{-}\rightarrow e^{-}\mu ^{-}}$ in niedrigster Ordnung in der Quantenelektrodynamik:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\bar {u}}(p)(\mathrm {i} e\gamma ^{\mu })u(p'){\frac {\mathrm {i} g_{\mu \nu }}{(p+k)^{2}}}{\bar {u}}(k')(\mathrm {i} e\gamma ^{\nu })u(k)}$

Wird über d​ie Spins d​er einlaufenden Teilchen gemittelt u​nd über d​ie Spins d​er auslaufenden Teilchen summiert, s​o ergibt s​ich nach zweimaliger Anwendung v​on Casimirs Trick

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{s_{1},s_{2},s'_{1},s'_{2}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {e^{4}}{(p+k)^{4}}}{\text{Tr}}\left[\gamma ^{\mu }(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }+m_{e})\gamma ^{\nu }(\gamma ^{\beta }p'_{\beta }+m_{e})\right]\,{\text{Tr}}\left[\gamma _{\mu }(\gamma ^{\alpha }k_{\alpha }+m_{\mu })\gamma _{\nu }(\gamma ^{\beta }k'_{\beta }+m_{\mu })\right]}$

Literatur

• David Griffiths: Einführung in die Elementarteilchenphysik. Übersetzt von Thomas Stange. Akademie-Verlag, Berlin 1996, ISBN 3-05-501627-0.
• Abraham Pais: Inward Bound. Oxford, New York 1986, ISBN 978-0198519713.